Найдите значение коэффициента при x^18 в результате раскрытия скобок в выражении (x+5)^10 * (2x-1)^9

Давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом раскроем скобки в выражении \((x+5)^{10} \cdot (2x-1)^{9}\).

Для раскрытия скобок возводим каждый множитель в нужную степень. Нам понадобятся биномиальные коэффициенты. Биномиальный коэффициент \(C(n, k)\) может быть вычислен по формуле:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), а \(k!\) и \((n-k)!\) обозначают факториалы чисел \(k\) и \(n-k\) соответственно.

Теперь приступим к раскрытию скобок:
\[
(x+5)^{10} = C(10, 0) \cdot x^{10} \cdot 5^0 + C(10, 1) \cdot x^9 \cdot 5^1 + C(10, 2) \cdot x^8 \cdot 5^2 + \ldots + C(10, 10) \cdot x^0 \cdot 5^{10}
\]

\[
(2x-1)^{9} = C(9, 0) \cdot (2x)^9 \cdot (-1)^0 + C(9, 1) \cdot (2x)^8 \cdot (-1)^1 + \ldots + C(9, 9) \cdot (2x)^0 \cdot (-1)^9
\]

После раскрытия скобок перемножим все получившиеся слагаемые и объединим подобные члены.

Теперь найдём значение коэффициента при \(x^{18}\). Обратим внимание, что коэффициент при \(x^{18}\) может быть получен только из членов, содержащих \(x^{18}\), т.е. из перемножения членов \(C(\ldots)\), где степени \(x\) в этих членах в сумме дают \(18\).

Поскольку степень \(x\) в первом множителе \((x+5)^{10}\) равна \(10-k\), а во втором множителе \((2x-1)^9\) равна \(9-h\), мы должны найти такие значения \(k\) и \(h\), чтобы \(10-k + (9-h) = 18\). Это уравнение можно упростить:

\[10 + 9 - (k + h) = 18\]

\[19 - (k + h) = 18\]

\[k + h = 19 - 18\]

\[k + h = 1\]

Таким образом, нам нужно найти коэффициенты при \(x^{10}\) в первом множителе и при \(x^9\) во втором множителе.

Используя формулу для вычисления биномиальных коэффициентов, получим:
\[
C(10, 1) \cdot C(9, 0) \cdot x^{10} \cdot (2x)^0 + C(10, 0) \cdot C(9, 1) \cdot x^9 \cdot (2x)^1 + \ldots
\]
\[
= 10 \cdot 1 \cdot x^{10} \cdot 1 + 1 \cdot 9 \cdot x^9 \cdot (2x) + \ldots
\]
\[
= 10x^{10} + 18x^{10} + \ldots
\]
\[
= 28x^{10} + \ldots
\]

Таким образом, коэффициент при \(x^{18}\) в результате раскрытия скобок равен 0, так как в выражении нет слагаемых \(x^{18}\). Ответ: 0.

Это полное решение задачи с подробными пояснениями каждого шага.