Найдите все значения a, при которых последовательность, заданная условиями x1=a и xn+1=xn^2-7xn+7​, выполняется

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть последовательность, заданная условиями: \(x_1 = a\) и \(x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7\).

Для начала, давайте найдем первые несколько членов последовательности, чтобы мы могли заметить какие-либо закономерности. Мы начинаем с \(x_1 = a\), и чтобы найти \(x_2\), мы должны взять \(x_1\), возведенное в квадрат, вычесть 7 помножить на \(x_1\) и добавить 7. То есть:

\[x_2 = x_1^2 - 7x_1 + 7\]

Теперь, чтобы найти \(x_3\), мы возьмем \(x_2\), возведенное в квадрат, вычтем 7, умноженное на \(x_2\) и прибавим 7. То есть:

\[x_3 = x_2^2 - 7x_2 + 7\]

Мы можем продолжать этот процесс, чтобы найти значения других членов последовательности. Но давайте рассмотрим некоторые частные случаи для лучшего понимания.

1. Если \(a = 0\), то \(x_1 = 0\). Тогда, используя рекуррентную формулу, получим:

\[x_2 = x_1^2 - 7x_1 + 7 = 0^2 - 7 \cdot 0 + 7 = 7\]
\[x_3 = x_2^2 - 7x_2 + 7 = 7^2 - 7 \cdot 7 + 7 = 14\]
\[x_4 = x_3^2 - 7x_3 + 7 = 14^2 - 7 \cdot 14 + 7 = 35\]

Мы можем видеть, что последовательность становится 7, 14, 35, ...

2. Теперь предположим, что \(a = 1\). Тогда \(x_1 = 1\). Теперь, используя рекуррентную формулу, получим:

\[x_2 = x_1^2 - 7x_1 + 7 = 1^2 - 7 \cdot 1 + 7 = 1\]
\[x_3 = x_2^2 - 7x_2 + 7 = 1^2 - 7 \cdot 1 + 7 = 1\]
\[x_4 = x_3^2 - 7x_3 + 7 = 1^2 - 7 \cdot 1 + 7 = 1\]

Здесь мы видим, что последовательность становится 1, 1, 1, ...

Из этих двух примеров мы видим, что последовательность может быть постоянной или повторяющейся, в зависимости от значения \(a\). Давайте проанализируем это подробнее.

Если мы подставим последний член \(x_n\) обратно в рекуррентную формулу, мы получим следующее:

\[x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7\]

Таким образом, чтобы последовательность была постоянной или повторяющейся, необходимо, чтобы \(x_n = x_{n+1}\). Это означает, что

\[x_n^2 - 7x_n + 7 = x_n\]

Решим это квадратное уравнение:

\[x_n^2 - 8x_n + 7 = 0\]

Теперь мы можем факторизовать его:

\[(x_n - 1)(x_n - 7) = 0\]

Таким образом, \(x_n = 1\) или \(x_n = 7\), чтобы последовательность стала постоянной или повторяющейся.

Итак, ответом на задачу являются все значения \(a\), которые приводят к \(x_n = 1\) или \(x_n = 7\). Таким образом, значения \(a\) равны 1 или 7.

Я надеюсь, что этот ответ понятен и полезен! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.