Найдите все значения a, при которых последовательность, заданная условиями x1=a и xn+1=xn^2-7xn+7​, выполняется

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть последовательность, заданная условиями: $x_1=a$ и $x_{n+1}=x_n^2-7x_n+7$.

Для начала, давайте найдем первые несколько членов последовательности, чтобы мы могли заметить какие-либо закономерности. Мы начинаем с $x_1=a$, и чтобы найти $x_2$, мы должны взять $x_1$, возведенное в квадрат, вычесть 7 помножить на $x_1$ и добавить 7. То есть:

$$x_2=x_1^2-7x_1+7$$

Теперь, чтобы найти $x_3$, мы возьмем $x_2$, возведенное в квадрат, вычтем 7, умноженное на $x_2$ и прибавим 7. То есть:

$$x_3=x_2^2-7x_2+7$$

Мы можем продолжать этот процесс, чтобы найти значения других членов последовательности. Но давайте рассмотрим некоторые частные случаи для лучшего понимания.

1. Если $a=0$, то $x_1=0$. Тогда, используя рекуррентную формулу, получим:

$$x_2=x_1^2-7x_1+7=0^2-7\cdot 0+7=7$$
$$x_3=x_2^2-7x_2+7=7^2-7\cdot 7+7=14$$
$$x_4=x_3^2-7x_3+7={14}^2-7\cdot 14+7=35$$

Мы можем видеть, что последовательность становится 7, 14, 35, ...

2. Теперь предположим, что $a=1$. Тогда $x_1=1$. Теперь, используя рекуррентную формулу, получим:

$$x_2=x_1^2-7x_1+7=1^2-7\cdot 1+7=1$$
$$x_3=x_2^2-7x_2+7=1^2-7\cdot 1+7=1$$
$$x_4=x_3^2-7x_3+7=1^2-7\cdot 1+7=1$$

Здесь мы видим, что последовательность становится 1, 1, 1, ...

Из этих двух примеров мы видим, что последовательность может быть постоянной или повторяющейся, в зависимости от значения $a$. Давайте проанализируем это подробнее.

Если мы подставим последний член $x_n$ обратно в рекуррентную формулу, мы получим следующее:

$$x_{n+1}=x_n^2-7x_n+7$$

Таким образом, чтобы последовательность была постоянной или повторяющейся, необходимо, чтобы $x_n=x_{n+1}$. Это означает, что

$$x_n^2-7x_n+7=x_n$$

Решим это квадратное уравнение:

$$x_n^2-8x_n+7=0$$

Теперь мы можем факторизовать его:

$$(x_n-1)(x_n-7)=0$$

Таким образом, $x_n=1$ или $x_n=7$, чтобы последовательность стала постоянной или повторяющейся.

Итак, ответом на задачу являются все значения $a$, которые приводят к $x_n=1$ или $x_n=7$. Таким образом, значения $a$ равны 1 или 7.

Я надеюсь, что этот ответ понятен и полезен! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.