Найдите все натуральные числа n> 1, для которых существует такой натуральный делитель n, к которому можно прибавить

Хорошо, чтобы найти все такие числа n, мы должны рассмотреть все возможные случаи и проверить каждое число. Давайте начнем.

В данной задаче мы ищем натуральные числа n, которые удовлетворяют условию: существует натуральный делитель \(d\) числа n такой, что \(d+2\) имеет общий делитель с n, причем этот общий делитель больше 1.

Давайте посмотрим на различные случаи и проверим каждое натуральное число, начиная с \(n=2\):

1. Пусть \(d\) - делитель числа \(n\). Применим условие \(d+2\) имеет общий делитель с \(n\).

a) Если \(d+2\) является делителем \(n\), то общий делитель между \(n\) и \(d+2\) уже есть - число \(d+2\).

б) Если \(d+2\) не является делителем \(n\), то нам нужно найти другой делитель \(d_1\) числа \(n\), который имеет общий делитель с \(d+2\). Если такой делитель \(d_1\) существует, то он должен быть меньше или равен \(d\), поскольку \(d\) это делитель, и все делители \(n\) меньше или равны самому числу \(n\).

- Если такой делитель \(d_1\) существует, то он должен удовлетворять условию: \(d_1 + 2\) имеет общий делитель с \(d+2\), и этот общий делитель должен быть больше 1.

- Если такой делитель \(d_1\) не существует, то мы переходим к следующему числу \(n+1\) и проверяем его.

2. Мы повторяем пункт 1 для каждого следующего числа \(n\), пока не достигнем последнего числа, для которого мы хотим найти такие значения.

Давайте применим этот метод и найдем все числа, удовлетворяющие условию.

Начнем с \(n=2\):
- Число 2 не удовлетворяет условию, потому что нет делителя \(d\) такого, что \(d+2\) является делителем 2.

Переходим к \(n=3\):
- Число 3 удовлетворяет условию, так как 1 является делителем 3 и \(1+2=3\) также является делителем 3.

Переходим к \(n=4\):
- Число 4 не удовлетворяет условию, так как нет делителя \(d\) такого, что \(d+2\) является делителем 4.

Переходим к \(n=5\):
- Число 5 не удовлетворяет условию, так как нет делителя \(d\) такого, что \(d+2\) является делителем 5.

Переходим к \(n=6\):
- Число 6 удовлетворяет условию, так как 2 является делителем 6 и \(2+2=4\) является делителем 6.

Продолжаем анализировать остальные числа и видим, что все натуральные числа, большие 1, для которых существует такой натуральный делитель \(d\), к которому можно прибавить 2 и получить число, имеющее общий делитель с \(n\), который больше 1, являются нечетными числами.

Таким образом, все искомые числа \(n\) больше 1 - это нечетные числа.