Найдите время t, за которое через поперечное сечение проводника пройдет заряд 0,5 кл при равномерном увеличении тока

Для решения этой задачи воспользуемся законом, связывающим ток с зарядом и временем:

\[I = \frac{dq}{dt}\]

Где I - ток в проводнике, q - заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, t - время.

Из условия задачи нам известно, что ток в проводнике увеличивается равномерно. Для этого мы можем использовать формулу:

\[I = I_0 + \alpha t\]

Где I_0 - начальный ток, \(\alpha\) - скорость изменения тока, t - время.

Теперь мы можем связать первое и второе уравнения, заменив \(I\) во втором уравнении.

\[\frac{dq}{dt} = I_0 + \alpha t\]

Так как ток постоянен через поперечное сечение проводника, мы можем записать заряд как:

\[q = It\]

Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{d(It)}{dt} = I_0 + \alpha t\]

Раскроем производную:

\[I + It\frac{dI}{dt} = I_0 + \alpha t\]

Далее решим это уравнение с помощью метода разделения переменных.

Перегруппируем слагаемые:

\[It\frac{dI}{dt} - \alpha t = I_0 - I\]

Разделим обе части уравнения на \(It - I_0\):

\[\frac{1}{It - I_0}\frac{dI}{dt} = \frac{I - \alpha t}{It - I_0}\]

integration

Integrating both sides with respect to t gives:

\[\int \frac{1}{It - I_0}dI = \int \frac{I - \alpha t}{It - I_0}dt\]

Now we can solve each integral separately.

The integral on the left side can be solved using the substitution method. Let \(u = It - I_0\). Then \(du = Idt\) and the integral becomes:

\[\int \frac{1}{u}du = \ln|u| + C_1\]

Where \(C_1\) is the constant of integration.

The integral on the right side can be solved by expanding and integrating term by term:

\[\int \frac{I - \alpha t}{It - I_0}dt = \int \frac{I}{It - I_0}dt - \int \frac{\alpha t}{It - I_0}dt\]

solving first integral:

Let \(v = It - I_0\). Then \(dv = Idt\) and the integral becomes:

\[\int \frac{1}{v}dv = \ln|v| + C_2\]

Where \(C_2\) is another constant of integration.

solving second integral:

Now let"s solve the second integral. We can rewrite it as:

\[-\alpha \int \frac{t}{It - I_0}dt\]

Let \(w = It - I_0\). Then \(dw = Idt\) and the integral becomes:

\[-\alpha \int \frac{1}{w}dw = -\alpha \ln|w| + C_3\]

Where \(C_3\) is another constant of integration.

Now let"s substitute back our original variables and recombine the integrals:

\[\ln|It - I_0| + C_1 = \ln|I| + C_2 - \alpha \ln|It - I_0| + C_3\]

Subtracting \(\ln|It - I_0|\) from both sides gives:

\[\ln|It - I_0| - \alpha \ln|It - I_0| = \ln|I| + C_2 - C_1 - C_3\]

Consolidating constants:

Let \(K = C_2 - C_1 - C_3\). Then the equation becomes:

\[(1 - \alpha) \ln|It - I_0| = \ln|I| + K\]

Now we can exponentiate both sides to eliminate the natural logarithm:

\[e^{(1 - \alpha) \ln|It - I_0|} = e^{\ln|I| + K}\]

Using the properties of logarithms, this simplifies to:

\[(It - I_0)^{1 - \alpha} = e^K |I|\]

Next, we raise both sides to the power of \(\frac{1}{1 - \alpha}\):

\[(It - I_0) = (e^K |I|)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\]

Simplifying further:

\[It - I_0 = (e^K)^{\frac{1}{1 - \alpha}} |I|^{\frac{1}{1 - \alpha}}\]

Now we isolate the variable t:

\[t = \frac{(e^K)^{\frac{1}{1 - \alpha}} |I|^{\frac{1}{1 - \alpha}} + I_0}{I}\]

Therefore, the time t it takes for the charge of 0.5 C to pass through the cross-section of the conductor, with a uniform current increase from 2 A to I A, is given by the formula:

\[t = \frac{(e^K)^{\frac{1}{1 - \alpha}} |I|^{\frac{1}{1 - \alpha}} + I_0}{I}\]

где \(I\) - конечный ток, равный 0,5 A, \(I_0\) - начальный ток, равный 2 A, \(\alpha\) - скорость изменения тока, \(e\) - основание натурального логарифма. Значение константы \(K\) зависит от начальных условий задачи и может быть получено путем подстановки известных значений в уравнение.