Найдите время, через которое кинетическая энергия груза достигнет максимума, если период гармонических колебаний

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для кинетической энергии колеблющегося груза на пружине. Такой груз может быть рассмотрен как система масса-пружина, для которой кинетическая энергия определяется как \(K = \frac{{1}}{{2}} m v^2\), где \(m\) - масса груза, а \(v\) - его скорость.

Для гармонических колебаний с периодом \(T\) справедливо следующее соотношение: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{{m}}{{k}}}\), где \(k\) - жесткость пружины.

Так как у нас известен период колебаний \(T = 3.6\, \text{с}\), мы можем выразить массу груза через период и жесткость пружины:

\[
m = \frac{{T^2 \cdot k}}{{4\pi^2}}
\]

Также нам известно, что максимальная кинетическая энергия соответствует моменту, когда скорость груза равна нулю (то есть, когда груз достигает крайних точек своего колебания). Поэтому мы можем записать уравнение связи массы груза и его скорости в момент максимальной кинетической энергии:

\[
0 = \frac{{dK}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(\frac{{1}}{{2}} m v^2\right)
\]

Дифференцируя это уравнение, получим:

\[
0 = \frac{{1}}{{2}} m \frac{{dv}}{{dt}} \cdot 2v = m v \frac{{dv}}{{dt}}
\]

Так как \(m \neq 0\), можно упростить это уравнение до:

\[
0 = v \frac{{dv}}{{dt}}
\]

Рассмотрим два случая: когда \(v = 0\) и когда \(\frac{{dv}}{{dt}} = 0\).

Когда \(v = 0\), это означает, что груз находится в крайней точке колебания, а значит, кинетическая энергия максимальна.

Когда \(\frac{{dv}}{{dt}} = 0\), это означает, что скорость груза не меняется с течением времени. В данном случае мы можем записать:

\[
v \frac{{dv}}{{dt}} = 0
\]

Решая это уравнение, получим:

\[
v = 0 \quad \text{или} \quad \frac{{dv}}{{dt}} = 0
\]

Таким образом, время, через которое кинетическая энергия груза достигнет максимума, является моментом, когда скорость груза равна нулю. Как только груз проходит через свою крайнюю точку, его скорость обращается в ноль. Это происходит в начале каждой полуволны колебания.

Так как период колебаний равен \(T = 3.6\, \text{с}\), время, через которое груз достигнет максимальной кинетической энергии, будет равно половине периода:

\[
\text{Время} = \frac{{T}}{{2}} = \frac{{3.6}}{{2}} = 1.8
\]

Таким образом, время, через которое кинетическая энергия груза достигнет максимума, составляет 1.8 секунды (округлено до десятых).