Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе y = 2x^2+1 в точках с координатами x_1= -1; x_2

Хорошо, давайте решим задачу.

У нас есть парабола с уравнением \(y = 2x^2 + 1\). Мы хотим найти уравнения касательных и нормалей к этой параболе в двух заданных точках с координатами \(x_1 = -1\) и \(x_2\).

Для начала найдем производную функции \(y = 2x^2 + 1\) по переменной \(x\), чтобы найти уравнение касательной к параболе в любой точке:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (2x^2 + 1)
\]

Используя правило дифференцирования степенной функции и то, что производная постоянной функции равна нулю, получаем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 4x
\]

Теперь подставим значение x_1 = -1 в наше выражение и найдем значение производной:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} \bigg|_{x=-1} = 4 \cdot (-1) = -4
\]

Таким образом, в точке с координатами \((-1, 2 \cdot (-1)^2 + 1) = (-1, 3)\) касательная имеет угловой коэффициент -4.

Касательная имеет уравнение вида \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - заданная точка и \(m\) - угловой коэффициент. Подставляем значения \((-1, 3)\) и \(-4\):

\[
y - 3 = -4(x + 1)
\]

Раскрываем скобки:

\[
y - 3 = -4x - 4
\]

Приводим уравнение касательной к параболе встроенного в него вида:

\[
y = -4x - 1
\]

Получаем уравнение касательной в точке с координатами \((-1, 3)\) к параболе \(y = 2x^2 + 1\).

Теперь найдем уравнение нормали к параболе в той же точке. Нормаль - это прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через заданную точку. Угловой коэффициент нормали равен отрицательному обратному значению углового коэффициента касательной.

Таким образом, угловой коэффициент нормали равен \(\frac{1}{4}\). Подставляем значение \((-1, 3)\) и \(\frac{1}{4}\) в уравнение нормали \(y - y_1 = m(x - x_1)\):

\[
y - 3 = \frac{1}{4}(x + 1)
\]

Раскрываем скобки:

\[
y - 3 = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}
\]

Приводим уравнение нормали к параболе встроенного в него вида:

\[
y = \frac{1}{4}x + \frac{13}{4}
\]

Получаем уравнение нормали в точке \((-1, 3)\) к параболе \(y = 2x^2 + 1\).

Теперь давайте найдем уравнение касательной и нормали к параболе в точке с неизвестной координатой \(x_2\). Для этого найдем значение \(y_2\) в данной точке, подставив \(x_2\) в уравнение параболы \(y = 2x^2 + 1\).

\[
y_2 = 2x_2^2 + 1
\]

Исходя из данного условия задачи, у нас нет каких-либо конкретных значений для \(x_2\), поэтому мы не можем выразить уравнения касательной и нормали в точке \(x_2\) с помощью конкретных чисел. Однако мы можем представить их в общем виде.

Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

\[
y = 4x_2 x - 2x_2^2 + 1
\]

А уравнение нормали:

\[
y = -\frac{1}{4}x_2 x + \frac{2x_2^2 + 3}{4}
\]

Эти уравнения описывают касательную и нормаль к параболе \(y = 2x^2 + 1\) в произвольной точке с координатами \((x_2, 2x_2^2 + 1)\).