Найдите уравнение окружности, проходящей через точку (4, 0) на оси Ox и точку (0, 2) на оси Oy, если известно

Задача требует найти уравнение окружности с центром \((x_c, y_c)\), которая проходит через две заданные точки на плоскости - \((4,0)\) на оси \(Ox\) и \((0,2)\) на оси \(Oy\).

Для начала, давайте рассмотрим, что такое уравнение окружности. Уравнение окружности в координатах имеет следующий вид:

\((x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2\)

Где \((x, y)\) - это произвольные точки на окружности, \(x_c\) и \(y_c\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Используя данную информацию и заданные точки, мы можем составить систему уравнений и решить её для нахождения центра окружности.

Система уравнений будет состоять из двух уравнений:

\((4 - x_c)^2 + (0 - y_c)^2 = r^2\) -- (1)

\((0 - x_c)^2 + (2 - y_c)^2 = r^2\) -- (2)

Так как оба уравнения равны \(r^2\), мы можем приравнять их друг к другу:

\((4 - x_c)^2 + (0 - y_c)^2 = (0 - x_c)^2 + (2 - y_c)^2\)

Проведя несложные математические вычисления для упрощения уравнения, получим:

\(16 - 8x_c + (x_c^2 + y_c^2) = 4 + 4x_c + (x_c^2 + y_c^2)\)

\(-8x_c + 12 = 4x_c\)

\(12 = 12x_c\)

\(x_c = 1\)

Подставим \(x_c = 1\) в уравнение (1):

\(r^2 = (4 - 1)^2 + (0 - y_c)^2\)

\(r^2 = 9 + y_c^2\)

Аналогично, для уравнения (2):

\(r^2 = (0 - 1)^2 + (2 - y_c)^2\)

\(r^2 = 1 + (2 - y_c)^2\)

Так как оба выражения равны \(r^2\), приравняем их:

\(9 + y_c^2 = 1 + (2 - y_c)^2\)

\(9 + y_c^2 = 1 + 4 - 4y_c + y_c^2\)

\(0 = -3 - 4y_c\)

\(4y_c = -3\)

\(y_c = -\frac{3}{4}\)

Таким образом, у нас есть координаты центра окружности: \(x_c = 1\) и \(y_c = -\frac{3}{4}\). Теперь мы можем определить радиус окружности, используя любое из двух уравнений (1) или (2).

Давайте используем уравнение (1):

\(r^2 = (4 - 1)^2 + (0 - (-\frac{3}{4}))^2\)

\(r^2 = 9 + \frac{9}{16}\)

\(r^2 = \frac{145}{16}\)

Итак, окончательное уравнение окружности, проходящей через точку (4, 0) на оси \(Ox\) и точку (0, 2) на оси \(Oy\), будет иметь вид:

\((x - 1)^2 + (y + \frac{3}{4})^2 = \frac{145}{16}\)

Ответ: уравнение окружности, проходящей через точки (4, 0) и (0, 2), с центром в точке (1, -3/4), и радиусом \(\sqrt{\frac{145}{16}}\).