Найдите точки касания прямых BF и СМ с окружностью, описанной вокруг треугольника ABC. (рис

Чтобы найти точки касания прямых $BF$ и $CM$ с окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$, нам понадобятся некоторые свойства описанной окружности, а также свойства касательных.

Предположим, что $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда диагонали $AO$, $BO$ и $CO$ будут радиусами этой окружности.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то точка касания прямой и окружности лежит на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной радиусу в точке его касания.

Также известно, что если две прямые пересекаются, то сумма углов, образованных этими прямыми в любой точке пересечения, равна 180 градусам.

Теперь рассмотрим нашу задачу. Пусть $D$ - точка пересечения прямых $BF$ и $CM$, а $E$ и $G$ - точки касания окружности с прямыми $BF$ и $CM$ соответственно.

Мы знаем, что прямая $CD$ является высотой треугольника $ABC$, а прямая $BE$ является медианой, проходящей через вершину $B$. Так как высота и медиана треугольника пересекаются в отношении 2:1 от вершины, то можно заключить, что точка $D$ делит отрезок $BE$ в отношении 2:1.

Также из свойства описанной окружности следует, что угол $ADB$ равен углу $ACB$. Так как угол $ADB$ является вписанным углом, а угол $ACB$ является центральным углом, то следует, что угол $ACB$ в два раза больше угла $ADB$.

Используя эти свойства, мы можем найти точки касания:

1. Проведем прямую, проходящую через центр окружности $O$ и точку $A$.
2. Найдем среднюю точку отрезка $BC$ и обозначим ее как точку $M$.
3. Найдем точку пересечения прямых $AO$ и $BM$ и обозначим ее как точку $F$.
4. Проведем прямую, перпендикулярную $BC$ в точке $M$, и найдем ее точку пересечения с прямой $BF$ - это будет точка касания $E$.
5. Найдем точку пересечения прямых $AO$ и $CM$ и обозначим ее как точку $G$.
6. Проведем прямую, перпендикулярную $BC$ в точке $M$, и найдем ее точку пересечения с прямой $CM$ - это будет точка касания $G$.

Теперь у нас есть точки касания прямых $BF$ и $CM$ с окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$.