Найдите стороны оснований правильной усеченной шестиугольной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна

Пусть сторона меньшего основания усеченной шестиугольной пирамиды будет равна \(a\), а сторона большего основания будет равна \(b\).

Для начала, давайте найдем высоту \(h\) усеченной шестиугольной пирамиды с помощью формулы для площади боковой поверхности. Равенство площадей боковых поверхностей усеченной пирамиды и правильной шестиугольной пирамиды позволяет нам воспользоваться соотношением:

\[S = \frac{1}{2}P \cdot h,\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(P\) - периметр ее основания, а \(h\) - высота.

Так как задана площадь боковой поверхности равна 540 см\(^2\), а усеченная пирамида имеет шестиугольные основания, то периметр ее основания можно выразить через стороны оснований по формуле:

\[P = 2a + 4b.\]

Подставим значения в наше уравнение:

\[540 = \frac{1}{2}(2a + 4b) \cdot h.\]

Разрешим уравнение относительно \(h\):

\[h = \frac{540 \cdot 2}{(2a + 4b)} = \frac{1080}{(2a + 4b)}.\]

Теперь найдем апофему \(l\) усеченной шестиугольной пирамиды. Апофема - это высота боковой грани пирамиды. Известно, что апофема является отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром одного из оснований, и он перпендикулярен плоскости этого основания.

Можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы выразить апофему через стороны оснований и половину расстояния между ними:

\[l^2 = h^2 + (\frac{b - a}{2})^2.\]

Подставим значение \(h\):

\[l^2 = (\frac{1080}{(2a + 4b)})^2 + (\frac{b - a}{2})^2.\]

Уравнение содержит два неизвестных \(a\) и \(b\), но мы также знаем, что стороны оснований имеют отношение 2:3. Следовательно, мы можем использовать это условие для решения системы уравнений. Подставим \(b = 2a\) в уравнение и упростим его:

\[(\frac{1080}{6a})^2 = (\frac{2a - a}{2})^2.\]

Решим это уравнение:

\[(\frac{1080}{6a})^2 = (\frac{a}{2})^2.\]

Можем также сократить на \((\frac{a}{2})^2\):

\[\frac{1080^2}{36a^2} = 1.\]

Упростим:

\[\frac{1080^2}{36} = a^2.\]

Получим:

\[1080^2 = 36a^2.\]

Теперь найдем значение \(a\):

\[a^2 = \frac{1080^2}{36} = 30 240.\]

Возьмем квадратный корень:

\[a = \sqrt{30 240} \approx 174,14 \text{ см}.\]

Таким образом, сторона меньшего основания равна приблизительно 174,14 см.

Теперь найдем значение \(b\):

\[b = 2a = 2 \cdot 174,14 \approx 348,28 \text{ см}.\]

Таким образом, сторона большего основания равна приблизительно 348,28 см.

Ответ: сторона меньшего основания равна приблизительно 174,14 см, а сторона большего основания равна приблизительно 348,28 см.