Найдите решение тригонометрического уравнения 5tg^2x = 3−14tgx. Варианты решений: А) −arctg3+πn Б) x=π−arctg3+πn

Для решения данного тригонометрического уравнения: 5tg^2x = 3−14tgx, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

Шаг 1: Преобразуем уравнение, чтобы получить только одну функцию тангенс.

У нас есть уравнение: 5tg^2x = 3−14tgx.

Заметим, что тангенс может быть выражен через функцию арктангенса с помощью тождества: tg^2x = 1 - ctg^2x.

Тогда, заменяя tgx на t в нашем уравнении, получаем: 5(1 - ctg^2x) = 3 - 14(1/ctgx).

Упростим это уравнение:

5 - 5ctg^2x = 3 - 14/ctgx.

Умножим оба выражения на ctg^2x:

5ctg^2x - 5 = 3ctg^2x - 14.

Перегруппируем выражения:

2ctg^2x = 9.

Делаем замену ctgx = t:

2t^2 = 9.

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение.

2t^2 - 9 = 0.

Разложим его на множители:

(√2t - 3)(√2t + 3) = 0.

Теперь, для равенства произведения двух множителей равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

√2t - 3 = 0 или √2t + 3 = 0.

Решим каждое из полученных уравнений:

√2t = 3 или √2t = -3.

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

2t = 9 или 2t = 9.

Теперь найдем значение t:

t = 9/2 или t = -9/2.

Шаг 3: Возвращаемся обратно к нашей переменной x.

Теперь, чтобы найти значения x, используем следующее соотношение:

ctgx = 1/t.

Тогда x = arctg(1/t).

Подставим значения t:

Для t = 9/2:

x = arctg(2/9).

Для t = -9/2:

x = arctg(-2/9).

Шаг 4: Найдем общие решения.

Общие решения могут быть выражены в виде x = arctg(2/9) + πn и x = arctg(-2/9) + πn, где n - целое число.

Теперь мы можем сопоставить данные о решении тригонометрического уравнения с вариантами:
А) −arctg3+πn,
Б) x=π−arctg3+πn,
В) x=arctg0,2+2πn,
Г) x=arctg0,2+πn.

Сравнивая возможные варианты решений с общими решениями, можем сделать вывод, что ответом будет вариант В) x=arctg0,2+2πn.