Найдите решение тригонометрического уравнения 5sin2x=6−7sinx. Какие значения x являются корнями уравнения?

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение пошагово. У нас есть уравнение:

\[5\sin^2 x = 6 - 7\sin x\]

Для начала, заметим, что это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Пусть \(\sin x = t\), тогда мы можем переписать уравнение в следующем виде:

\[5t^2 + 7t - 6 = 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, нам нужно найти его корни. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы определить, имеются ли решения. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае:

\[a = 5, b = 7, c = -6\]

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, уравнение имеет два корня.

Далее, мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения, чтобы найти значения \(t\) (или \(\sin x\)):

\[t = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставляя значения \(a\), \(b\) и \(D\) в формулу, получаем:

\[t_1 = \frac{{-7 + \sqrt{169}}}{{10}} = \frac{{-7 + 13}}{{10}} = \frac{6}{10} = 0.6\]
\[t_2 = \frac{{-7 - \sqrt{169}}}{{10}} = \frac{{-7 - 13}}{{10}} = \frac{-20}{10} = -2\]

Таким образом, у нас есть два значения \(\sin x\): \(0.6\) и \(-2\).

Теперь, чтобы найти значения \(x\), мы используем обратные тригонометрические функции. Воспользуемся функцией \(\arcsin\) для обоих случаев:

\(\sin x_1 = 0.6\): \(x_1 = \arcsin(0.6) + 2\pi n\) (1)
\(\sin x_2 = -2\): \(x_2 = \arcsin(-2) + 2\pi n\) (2)

Обратите внимание, что мы добавляем \(2\pi n\) для указания, что у нас есть бесконечное количество решений из-за периодичности тригонометрических функций, где \(n\) - целое число.

Теперь найдем значения \(x\) для обоих случаев:

(1) Для случая \(x_1 = \arcsin(0.6) + 2\pi n\)
- Используя калькулятор, найдем значение обратной функции \(\arcsin(0.6)\), округлив его до нескольких знаков после запятой, и получим \(x_1 \approx 0.6435 + 2\pi n\)

(2) Для случая \(x_2 = \arcsin(-2) + 2\pi n\)
- Так как значение \(-2\) для \(\sin x\) находится за пределами диапазона [-1, 1], то уравнение не имеет решений и данное условие можно проигнорировать.

Таким образом, корни уравнения \(5\sin^2 x = 6 - 7\sin x\) соответствуют значениям \(x = \pi - \arcsin(-2) + 2\pi n\) и \(x = \arcsin(0.6) + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.