Найдите расстояние от точки A до плоскости

Хорошо, чтобы найти расстояние от точки A до плоскости, мы можем использовать формулу, известную как формула расстояния от точки до плоскости. Запишем эту формулу:
\[ D = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} \]
где A, B, и C - это коэффициенты уравнения плоскости, а x, y и z - это координаты заданной точки A.

Предположим, что у нас есть уравнение плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) и координаты точки A, которую мы обозначим как (x₁, y₁, z₁).

Теперь давайте решим задачу на примере:

Пусть у нас есть плоскость с уравнением \(2x + 3y - z - 4 = 0\), и точка A с координатами (1, 2, 3). Мы хотим найти расстояние от точки A до этой плоскости.

1. В первую очередь, нам нужно найти коэффициенты A, B и C из уравнения плоскости. В данном случае A = 2, B = 3 и C = -1.

2. Затем нам нужно найти значение D. Для этого мы можем подставить координаты точки A в уравнение плоскости:
\(2(1) + 3(2) - 1(3) - 4 = 2 + 6 - 3 - 4 = 1 - 7 = -6\)
Таким образом, значение D = -6.

3. Теперь мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости:
\[ D = \frac{{|2(1) + 3(2) - 1(3) - 6|}}{{\sqrt{{2^2 + 3^2 + (-1)^2}}}} \]
\[ D = \frac{{|-1|}}{{\sqrt{{4 + 9 + 1}}}} = \frac{1}{{\sqrt{14}}} \]

Таким образом, расстояние от точки A до плоскости \(2x + 3y - z - 4 = 0\) составляет \(\frac{1}{{\sqrt{14}}}\) единиц.