Найдите радиус шара, при условии, что стороны треугольника АВС касаются шара и имеют следующие длины: АВ = 8 см

Чтобы найти радиус шара и расстояние от его центра до плоскости треугольника АВС, мы можем использовать свойство ортоцентрических треугольников. В данной задаче мы знаем длины сторон треугольника, поэтому можем использовать формулу Герона для нахождения его площади.

Первым шагом найдем полупериметр треугольника АВС, который вычисляется как сумма длин всех сторон, деленная на 2:
\[s = \frac{{АВ + ВС + АС}}{2} = \frac{{8 + 10 + 12}}{2} = 15.\]

Теперь, используя формулу Герона, найдем площадь треугольника:
\[S = \sqrt{{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)}} = \sqrt{{15(15 - 8)(15 - 10)(15 - 12)}} \approx 36 \, \text{см}^2.\]

Зная, что площадь треугольника равна полумножеству произведения боковых сторон треугольника на радиус вписанной окружности, можно записать следующее уравнение:
\[S = \frac{{AB \cdot BC \cdot AC}}{4R},\]
где R - радиус шара.

Подставим известные значения и найдем R:
\[36 = \frac{{8 \cdot 10 \cdot 12}}{{4R}}.\]

Упростив уравнение, мы получим:
\[36R = 240.\]

Теперь разделим обе части уравнения на 36, чтобы найти значение R:
\[R = \frac{{240}}{{36}} = \frac{{20}}{{3}} \approx 6{,}67 \, \text{см}.\]

Таким образом, радиус шара составляет приблизительно 6,67 см. Чтобы найти расстояние от центра шара до плоскости треугольника АВС, мы должны вычесть из радиуса шара длину отрезка, соединяющего центр шара с плоскостью треугольника. В данном случае это расстояние будет равно корню из площади треугольника:
\[h = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6 \, \text{см}.\]

Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости треугольника АВС равно 6 см.