Найдите площади красного и незакрашенного сегментов, если радиус круга составляет 6 дм, а меньший центральный угол

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание формулы для нахождения площади сегмента круга. Площадь сегмента круга можно найти, используя формулу:

\[S = \frac{r^2}{2}( \theta - \sin(\theta))\]

Где \(S\) - площадь сегмента круга, \(r\) - радиус круга, \(\theta\) - центральный угол в радианах.

В данной задаче, нам известно, что радиус круга составляет 6 дм и меньший центральный угол равен 90°, что в радианах составляет \(\frac{\pi}{2}\).

Давайте посчитаем площадь красного сегмента. Подставим известные значения в формулу:

\[S_{\text{красный}} = \frac{(6)^2}{2}( \frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2}))\]

Упростим выражение внутри скобок:

\[S_{\text{красный}} = \frac{36}{2}( \frac{\pi}{2} - 1)\]

\[S_{\text{красный}} = 18( \frac{\pi}{2} - 1)\]

Теперь мы можем вычислить численное значение площади красного сегмента.

\[S_{\text{красный}} \approx 18( \frac{3.14}{2} - 1)\]

\[S_{\text{красный}} \approx 18( 1.57 - 1)\]

\[S_{\text{красный}} \approx 18(0.57)\]

\[S_{\text{красный}} \approx 10.26 \, \text{дм}^2\]

Теперь давайте находим площадь незакрашенного сегмента. Для этого мы вычтем площадь красного сегмента из площади всего круга.

Площадь всего круга равна площади сегмента плюс площадь треугольника, образованного центральным углом.

Для нашего случая, площадь всего круга будет:

\[S_{\text{круга}} = S_{\text{красный}} + S_{\text{треугольника}}\]

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{a \cdot b \cdot \sin(\gamma)}{2}\]

Где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между этими сторонами.

В нашей задаче, длина стороны треугольника равна радиусу круга, то есть 6 дм, а угол между этими сторонами также равен 90°, что в радианах составляет \(\frac{\pi}{2}\).

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{(6) \cdot (6) \cdot \sin(\frac{\pi}{2})}{2}\]

Упростим выражение внутри скобок:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{36 \cdot 1}{2}\]

\[S_{\text{треугольника}} = 18 \, \text{дм}^2\]

Теперь мы можем найти площадь незакрашенного сегмента, вычтем площадь красного сегмента из площади всего круга:

\[S_{\text{незакрашенный}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{красный}}\]

\[S_{\text{незакрашенный}} \approx 18 - 10.26\]

\[S_{\text{незакрашенный}} \approx 7.74 \, \text{дм}^2\]

Итак, площадь красного сегмента составляет приблизительно \(10.26 \, \text{дм}^2\), а площадь незакрашенного сегмента составляет приблизительно \(7.74 \, \text{дм}^2\).