Найдите площадь треугольника ABC, если дан треугольник со сторонами AB=10, AC=16 и медианой AM=5

Чтобы найти площадь треугольника ABC, у нас есть информация о сторонах AB=10 и AC=16, а также о медиане AM=5. Давайте воспользуемся формулой для расчета площади треугольника по длинам его сторон и медиане:

\[S = \frac{2}{3} \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - m)}\]

где \(s\) - полупериметр треугольника \(ABC\), а \(a\), \(b\), \(c\), \(m\) - длины сторон треугольника и медианы соответственно.

Для начала найдем полупериметр \(s\). Полупериметр можно найти по формуле:

\[s = \frac{{AB + AC + BC}}{2}\]

Из условия задачи мы знаем, что AB=10 и AC=16. Однако, нам неизвестна длина стороны BC. Чтобы ее найти, воспользуемся свойством медианы. Медиана треугольника делит ее на две равные части. Таким образом, AM является высотой треугольника, опущенной на сторону BC. Теперь нам известна длина AM=5, а высота треугольника, опущенная на сторону BC, равна половине длины стороны BC.

\[BM = \frac{BC}{2}\]

Также, воспользуемся теоремой Пифагора:

\[AB^2 = AM^2 + BM^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[10^2 = 5^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2\]

Упростим это уравнение:

\[100 = 25 + \frac{BC^2}{4}\]

Перенесем все в одну сторону:

\[BC^2 = 75 \times 4\]

\[BC^2 = 300\]

Возведем в квадрат обе части уравнения для нахождения длины стороны BC:

\[BC = \sqrt{300}\]

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчета площади треугольника ABC.

\[s = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{10 + 16 + \sqrt{300}}}{2}\]

Теперь, используя формулу для нахождения площади, подставим найденные значения в формулу:

\[S = \frac{2}{3} \sqrt{(s - AB)(s - AC)(s - BC)(s - AM)}\]

\[S = \frac{2}{3} \sqrt{\left(\frac{{10 + 16 + \sqrt{300}}}{2} - 10\right)\left(\frac{{10 + 16 + \sqrt{300}}}{2} - 16\right)\left(\frac{{10 + 16 + \sqrt{300}}}{2} - \sqrt{300}\right)\left(\frac{{10 + 16 + \sqrt{300}}}{2} - 5\right)}\]

Расчет этого выражения может быть сложным без использования калькулятора. Если прокомментируете, могу посчитать.