Найдите площадь правильного многоугольника с 8 сторонами и радиусом окружности, описанной вокруг многоугольника, равным

Для нахождения площади правильного многоугольника с 8 сторонами и радиусом окружности, описанной вокруг него, равным 6 см, можно воспользоваться формулой:

\[S = \dfrac{1}{2} \cdot P \cdot r\]

где \(S\) - площадь многоугольника, \(P\) - периметр многоугольника, \(r\) - радиус окружности.

Для начала найдем периметр многоугольника. Поскольку многоугольник правильный, то длина каждой стороны будет одинаковой. Обозначим эту длину как \(a\).

Из определения радиуса окружности, описанной вокруг многоугольника, следует, что диагональ многоугольника равна диаметру окружности. Так как многоугольник правильный, то у него можно провести диагональ, соединяющую центр окружности с любой точкой на окружности. Следовательно, такая диагональ будет радиусом окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, радиусом окружности и одной стороной правильного многоугольника. Можно применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[a^2 + 6^2 = (2 \cdot 6)^2\]
\[a^2 + 36 = 144\]
\[a^2 = 144 - 36\]
\[a^2 = 108\]
\[a = \sqrt{108} \approx 10,39 \, \text{см}\]

Теперь найдем периметр многоугольника:

\[P = 8a = 8 \cdot 10,39 \approx 83,12 \, \text{см}\]

Наконец, подставим значения в формулу для нахождения площади:

\[S = \dfrac{1}{2} \cdot 83,12 \cdot 6 \approx 249,36 \, \text{см}^2\]

Теперь перейдем к следующей части задачи.

Чтобы найти площадь правильного многоугольника с 10 сторонами и радиусом окружности, описанной вокруг него, равным 6 см, мы можем использовать ту же формулу:

\[S = \dfrac{1}{2} \cdot P \cdot r\]

Периметр многоугольника будет равен:

\[P = 10a\]

Чтобы найти длину стороны \(a\), мы можем использовать ту же идею с прямоугольным треугольником, как в предыдущей части задачи. Мы знаем, что:

\[a^2 + 6^2 = (2 \cdot 6)^2\]
\[a^2 + 36 = 144\]
\[a^2 = 144 - 36\]
\[a^2 = 108\]
\[a = \sqrt{108} \approx 10,39 \, \text{см}\]

Теперь можем найти периметр многоугольника:

\[P = 10 \cdot 10,39 \approx 103,9 \, \text{см}\]

Подставим значения в формулу для нахождения площади:

\[S = \dfrac{1}{2} \cdot 103,9 \cdot 6 \approx 311,7 \, \text{см}^2\]

Округлив площадь до целого значения, получаем:

\[S \approx 312 \, \text{см}^2\]