Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, у которой в основании расположен ромб со стороной, образующей тупой

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для вычисления площади полной поверхности прямой призмы. В прямой призме есть две одинаковые основы (ромбы в нашем случае) и четыре равных боковых грани, которые являются прямоугольниками.

Формула для вычисления площади полной поверхности прямой призмы:
\[S = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
где \(S\) - площадь полной поверхности, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности.

Для начала, найдем площади основания и боковой поверхности.

Площадь основания \(S_{\text{осн}}\) можно найти по формуле:
\[S_{\text{осн}} = a \cdot h\]
где \(a\) - длина стороны ромба, \(h\) - высота ромба.

Ромб имеет стороны, образующие тупой угол величиной 120°. Таким образом, каждый угол ромба равен \(180° - 120° = 60°\). Также известно, что одна из диагоналей ромба равна 6 см.

По свойствам ромба можно найти длину стороны \(a\) по формуле:
\[a = \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}\]
где \(d_2\) - меньшая диагональ ромба.

Теперь нам нужно найти высоту ромба \(h\). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному диагональю ромба \(d_2\) и стороной ромба \(a\). Такой треугольник будет прямоугольным, так как его угол при основании ромба равен 90°.

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. В нашем случае:
\[h^2 = d_1^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
где \(d_1\) - большая диагональ ромба.

Но нам неизвестны значения большей диагонали \(d_1\) и угла, под которым она наклонена к плоскости основания. Так что мы не можем точно вычислить высоту ромба. Поэтому мы предположим, что большая диагональ \(d_1\) равна \(2 \cdot d_2 = 2 \cdot 6 = 12\) см и что большая диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Теперь мы можем вычислить высоту ромба:
\[
h^2 = (12)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 144 - \frac{9}{4} = \frac{567}{4}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{567}{4}} = \frac{\sqrt{567}}{2} = \frac{\sqrt{81 \cdot 7}}{2} = \frac{9\sqrt{7}}{2} \approx 9.49 \text{ см}
\]

Теперь мы можем вычислить площадь основания \(S_{\text{осн}}\):
\[S_{\text{осн}} = a \cdot h = 3 \cdot \frac{9\sqrt{7}}{2} = \frac{27\sqrt{7}}{2} \approx 13.42 \text{ см}^2\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\). Боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников, которые можно получить, соединив боковые стороны ромба.

Высота каждого прямоугольника равна высоте ромба \(h\), а длина каждого прямоугольника равна стороне ромба \(a\).

Таким образом, каждый прямоугольник имеет площадь:
\[S_{\text{прям}} = a \cdot h = 3 \cdot \frac{9\sqrt{7}}{2} = \frac{27\sqrt{7}}{2} \approx 13.42 \text{ см}^2\]

Так как боковая поверхность состоит из четырех таких прямоугольников, площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) будет:
\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{прям}} = 4 \cdot \frac{27\sqrt{7}}{2} = 54\sqrt{7} \approx 120.36 \text{ см}^2\]

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности \(S\):
\[S = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot \frac{27\sqrt{7}}{2} + 54\sqrt{7} = 27\sqrt{7} + 54\sqrt{7} = 81\sqrt{7} \approx 171.24 \text{ см}^2\]

Итак, площадь полной поверхности прямой призмы составляет примерно 171.24 квадратных сантиметра.