Найдите первоначальное трехзначное число, если Даша при переписывании совершила ошибку и вписала лишнюю цифру N между

Пусть искомое трехзначное число будет обозначено как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - цифры.

Согласно условию задачи, Даша вписала лишнюю цифру \(N\) между первой (\(a\)) и второй (\(b\)) цифрами числа. Таким образом, получившееся четырехзначное число можно представить как \(aNbc\).

Также, известно, что это четырехзначное число больше исходного в 11 раз. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[11 \cdot abc = aNbc\]

Подставим значение \(N = 4\) в это уравнение и решим его:

\[11 \cdot abc = a4bc\]

Чтобы сократить обозначения, представим \(abc\) в виде \(100a + 10b + c\), а \(a4bc\) в виде \(1000a + 40 + 10b + c\), так как \(N = 4\).

Теперь у нас есть уравнение:

\[11 \cdot (100a + 10b + c) = 1000a + 40 + 10b + c\]

Раскроем скобки:

\[1100a + 110b + 11c = 1000a + 40 + 10b + c\]

Упростим:

\[100a + 100b - 9c = 40\]

Поскольку известно, что исходное трехзначное число не кратно 100, \(a\) не может равняться 0. Поэтому, мы можем рассмотреть возможные значения \(a\) от 1 до 9 и подставить их в уравнение.

1. Если \(a = 1\), то уравнение принимает вид:

\[100 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -60\]

2. Если \(a = 2\), то уравнение принимает вид:

\[200 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -160\]

3. Если \(a = 3\), то уравнение принимает вид:

\[300 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -260\]

4. Если \(a = 4\), то уравнение принимает вид:

\[400 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -360\]

5. Если \(a = 5\), то уравнение принимает вид:

\[500 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -460\]

6. Если \(a = 6\), то уравнение принимает вид:

\[600 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -560\]

7. Если \(a = 7\), то уравнение принимает вид:

\[700 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -660\]

8. Если \(a = 8\), то уравнение принимает вид:

\[800 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -760\]

9. Если \(a = 9\), то уравнение принимает вид:

\[900 + 100b - 9c = 40\]

Упростим его:

\[100b - 9c = -860\]

Теперь нам нужно решить каждое уравнение для разных значений \(a\), чтобы найти подходящее трехзначное число. Начнем с первого уравнения:

\[100b - 9c = -60\]

Мы можем проверить различные значения \(b\) и \(c\) для этого уравнения.

1. Пусть \(b = 1\) и \(c = 7\), тогда:

\[100 \cdot 1 - 9 \cdot 7 = 10 - 63 = -53\]

-53 не равно -60, поэтому это не является подходящим решением.

2. Пусть \(b = 2\) и \(c = 6\), тогда:

\[100 \cdot 2 - 9 \cdot 6 = 20 - 54 = -34\]

-34 не равно -60, поэтому это не является подходящим решением.

3. Пусть \(b = 3\) и \(c = 5\), тогда:

\[100 \cdot 3 - 9 \cdot 5 = 30 - 45 = -15\]

-15 не равно -60, поэтому это не является подходящим решением.

4. Пусть \(b = 4\) и \(c = 4\), тогда:

\[100 \cdot 4 - 9 \cdot 4 = 40 - 36 = 4\]

4 равно -60 и является подходящим решением.

Итак, если \(N = 4\), подходящее трехзначное число будет равно \(a4bc = 1444\).