Найдите объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, если ее боковое ребро равно l и сечение, проведенное через

Для решения задачи, нам понадобится знать формулу для вычисления объема правильной треугольной призмы. Объем $V$ можно выразить через площадь основания $S$ и высоту призмы $h$ по формуле:

$$V=S\cdot h$$

Также необходимо разобраться в геометрической структуре данной призмы. Правильная треугольная призма имеет три равных треугольных грани в основании и шесть боковых ребер, которые соединяют основания. Призма ABCA1B1C1 имеет правильный треугольник ABC в основании и правильный треугольник A1B1C1 в верхней грани.

Теперь, когда мы определились с геометрической структурой, приступим к поиску объема призмы. Для этого нам потребуется проделать несколько шагов.

Шаг 1: Найдем площадь основания $S$.
У нас есть правильный треугольник ABC с длиной стороны AB равной $l$. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot l^2$$

Шаг 2: Найдем высоту призмы $h$.
Мы знаем, что сечение, проведенное через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1, образует угол в 30 градусов с плоскостью основания. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты призмы. В данном случае, высота равна $h=l\cdot \sin {30}^{\circ }$.

Шаг 3: Найдем объем призмы $V$.
Теперь мы можем использовать найденные значения площади основания $S$ и высоты призмы $h$ для вычисления объема:

$$V=S\cdot h$$

Подставляя значения, получаем:

$$V=(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot l^2)\cdot (l\cdot \sin {30}^{\circ })$$

Упростив данное выражение, получаем окончательный ответ:

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot l^3\cdot \sin {30}^{\circ }$$

Таким образом, объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равен $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot l^3\cdot \sin {30}^{\circ }$.