Найдите объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, если ее боковое ребро равно l и сечение, проведенное через

Для решения задачи, нам понадобится знать формулу для вычисления объема правильной треугольной призмы. Объем \( V \) можно выразить через площадь основания \( S \) и высоту призмы \( h \) по формуле:

\[ V = S \cdot h \]

Также необходимо разобраться в геометрической структуре данной призмы. Правильная треугольная призма имеет три равных треугольных грани в основании и шесть боковых ребер, которые соединяют основания. Призма ABCA1B1C1 имеет правильный треугольник ABC в основании и правильный треугольник A1B1C1 в верхней грани.

Теперь, когда мы определились с геометрической структурой, приступим к поиску объема призмы. Для этого нам потребуется проделать несколько шагов.

Шаг 1: Найдем площадь основания \( S \).
У нас есть правильный треугольник ABC с длиной стороны AB равной \( l \). Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[ S = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot l^2 \]

Шаг 2: Найдем высоту призмы \( h \).
Мы знаем, что сечение, проведенное через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1, образует угол в 30 градусов с плоскостью основания. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты призмы. В данном случае, высота равна \( h = l \cdot \sin 30^\circ \).

Шаг 3: Найдем объем призмы \( V \).
Теперь мы можем использовать найденные значения площади основания \( S \) и высоты призмы \( h \) для вычисления объема:

\[ V = S \cdot h \]

Подставляя значения, получаем:

\[ V = \left(\frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot l^2\right) \cdot \left(l \cdot \sin 30^\circ\right) \]

Упростив данное выражение, получаем окончательный ответ:

\[ V = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot l^3 \cdot \sin 30^\circ \]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равен \(\frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot l^3 \cdot \sin 30^\circ\).