Каков объем данной пирамиды с боковыми ребрами, наклоненными под углом 60° к основанию, где основание представляет

Чтобы найти объем пирамиды, мы должны знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте начнем с основания.

Основание пирамиды — это равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом при вершине 120°. Чтобы найти площадь такого треугольника, нам понадобится знать его высоту.

Высота равнобедренного треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на основание. Чтобы найти высоту, мы можем использовать теорему косинусов.

Пусть \(h\) - высота треугольника, \(s\) - боковая сторона, \(a\) - угол при вершине. Тогда мы можем использовать следующую формулу для вычисления высоты \(h\):

\[h = \frac{{s \cdot \sin(a)}}{2}\]

Подставим значения в формулу:

\[h = \frac{{6 \cdot \sin(120°)}}{2}\]

Теперь давайте найдем значение синуса 120°. Для этого мы будем использовать тригонометрическую таблицу или калькулятор. Значение синуса 120° равно \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\):

\[h = \frac{{6 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2}\]

Упростим выражение:

\[h = \frac{{3\sqrt{3}}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем перейти к вычислению её объема. Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания и \(h\) - высота.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{s^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Подставим значения и вычислим:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{6^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\]

Упростим:

\[S_{\text{осн}} = 9\sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{{3\sqrt{3}}}{2}\]

Упростим выражение:

\[V = \frac{{27\sqrt{3}}}{2}\]

Таким образом, объем данной пирамиды с боковыми ребрами, наклоненными под углом 60° к основанию, равен \(\frac{{27\sqrt{3}}}{2}\) кубических сантиметров.