Найдите наибольший общий множитель выражения x^2 - 41x^4 + 14x^10 - 34x^8

Чтобы найти наибольший общий множитель данного выражения \(x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8\), мы можем воспользоваться методом факторизации по общему множителю.

Шаг 1: Выделение общего множителя
Заметим, что каждый член данного выражения содержит степень \(x^2\). Мы можем выделить \(x^2\) как общий множитель:
\[x^2(1 - 41x^2 + 14x^8 - 34x^6)\]

Шаг 2: Факторизация полученного выражения
Теперь мы должны факторизовать выражение \((1 - 41x^2 + 14x^8 - 34x^6)\). В этом случае, мы можем попытаться применить метод группировки или использовать формулу суммы кубов, чтобы упростить его.

Если мы воспользуемся методом группировки:
\[(1 - 41x^2) + (14x^8 - 34x^6)\]
\[x^2(1 - 41x^2) + 2x^2(7x^6 - 17x^4)\]
\[x^2(1 - 41x^2) + 2x^2x^4(7x^2 - 17)\]
\[x^2(1 - 41x^2) + 2x^6(7x^2 - 17)\]

Теперь мы видим, что мы можем выделить общий множитель \(x^2\) из первых двух членов и общий множитель \(2x^6\) из последних двух членов. Получаем:
\[x^2(1 - 41x^2) + 2x^6(7x^2 - 17)\]
\[x^2(1 - 41x^2) + (2x^6)(7x^2 - 17)\]

Шаг 3: Факторизация оставшихся выражений
Теперь у нас осталось два выражения, которые мы можем факторизовать отдельно.
Выражение \((1 - 41x^2)\) является квадратом разности, поэтому мы можем записать его следующим образом:
\[(1 - 41x^2) = (1)^2 - (2x)^2\]
\[(1 - 41x^2) = (1 - 2x)(1 + 2x)\]

Выражение \((7x^2 - 17)\) может быть факторизовано как разность квадратов:
\[(7x^2 - 17) = (7x^2) - (\sqrt{17})^2\]
\[(7x^2 - 17) = (7x - \sqrt{17})(7x + \sqrt{17})\]

Шаг 4: Объединение факторов
Теперь мы можем объединить все факторы и записать наше исходное выражение в виде произведения:
\[x^2(1 - 41x^2) + (2x^6)(7x^2 - 17)\]
\[x^2(1 - 2x)(1 + 2x) + 2x^6(7x - \sqrt{17})(7x + \sqrt{17})\]

Итак, наибольший общий множитель выражения \(x^2 - 41x^4 + 14x^{10} - 34x^8\) равен:
\[x^2(1 - 2x)(1 + 2x) + 2x^6(7x - \sqrt{17})(7x + \sqrt{17})\]