Найдите массу карликовой планеты Эрида (в Землях), используя в сравнении системы Эрида—Дисномия с системой Земля—Луна

Для решения задачи, нам необходимо использовать закон всемирного тяготения Ньютона. В данном случае мы можем применить его для системы Эрида—Дисномия и для системы Земля—Луна, а затем сравнить результаты.

Формула закона всемирного тяготения Ньютона для двух тел выглядит следующим образом:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- F - сила притяжения между двумя телами,
- G - гравитационная постоянная (примерное значение G = \(6.674 \cdot 10^{-11}\) Н \(\cdot\) м\(^2\)/кг\(^2\)),
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, между которыми действует притяжение,
- r - расстояние между телами.

Для системы Земля—Луна:
- \(m_1\) - масса Земли,
- \(m_2\) - масса Луны,
- r - расстояние между Землей и Луной.

Для системы Эрида—Дисномия:
- \(m_1\) - масса Эриды,
- \(m_2\) - масса Дисномии,
- r - расстояние между Эридой и Дисномией.

Мы можем записать соотношение сил притяжения между Землей и Луной и сил притяжения между Эридой и Дисномией следующим образом:

\[\frac{{F_{Земля-Луна}}}{{F_{Эрида-Дисномия}}} = \frac{{m_{Земля} \cdot m_{Луна}}}{{m_{Эрида} \cdot m_{Дисномия}}}\]

Так как массы Луны и Дисномии являются незначительными по сравнению с массами Земли и Эриды, мы можем считать, что \(m_{Луна}\) и \(m_{Дисномия}\) равны нулю. Поэтому формула упрощается:

\[\frac{{m_{Земля}}}{{m_{Эрида}}} = \frac{{F_{Земля-Луна}}}{{F_{Эрида-Дисномия}}}\]

Мы знаем, что расстояние между Землей и Луной составляет 384 тыс. км, а период обращения Луны равен 27,3 суток. Рассмотрим силу притяжения между Землей и Луной. Для этого мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона и подставить известные значения:

\[F_{Земля-Луна} = G \cdot \frac{{m_{Земля} \cdot m_{Луна}}}{{r_{Земля-Луна}^2}}\]

\[F_{Земля-Луна} = 6.674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{{m_{Земля} \cdot m_{Луна}}}{{(384 \cdot 10^3)^2}}\]

Формула для силы притяжения между Эридой и Дисномией будет выглядеть аналогичным образом:

\[F_{Эрида-Дисномия} = G \cdot \frac{{m_{Эрида} \cdot m_{Дисномия}}}{{r_{Эрида-Дисномия}^2}}\]

\[F_{Эрида-Дисномия} = 6.674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{{m_{Эрида} \cdot m_{Дисномия}}}{{(37.4 \cdot 10^3)^2}}\]

Теперь мы можем сравнить отношение сил притяжения:

\[\frac{{m_{Земля}}}{{m_{Эрида}}} = \frac{{F_{Земля-Луна}}}{{F_{Эрида-Дисномия}}}\]

\[\frac{{m_{Земля}}}{{m_{Эрида}}} = \frac{{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{{m_{Земля} \cdot m_{Луна}}}{{(384 \cdot 10^3)^2}}}}{{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{{m_{Эрида} \cdot m_{Дисномия}}}{{(37.4 \cdot 10^3)^2}}}}\]

Сокращая гравитационную постоянную \(G\), а также учитывая, что \(m_{Луна}\) и \(m_{Дисномия}\) равны нулю, уравнение принимает следующий вид:

\(\frac{{m_{Земля}}}{{m_{Эрида}}} = \frac{{m_{Земля} \cdot 384000^2}}{{m_{Эрида} \cdot 37.4^2}}\)

Далее мы можем решить это уравнение относительно \(m_{Эрида}\):

\(\frac{{m_{Эрида}}}{{m_{Земля}}} = \frac{{384000^2}}{{37.4^2}}\)

\(m_{Эрида} = \frac{{m_{Земля} \cdot 384000^2}}{{37.4^2}}\)

Теперь мы можем вычислить массу карликовой планеты Эрида, принимая массу Земли около 5.972 × 10^24 кг:

\(m_{Эрида} = \frac{{5.972 \cdot 10^{24} \cdot 384000^2}}{{37.4^2}}\)

Подставляя значения и используя калькулятор, мы получаем:

\(m_{Эрида} \approx 6.03 \cdot 10^{22}\) кг

Поэтому масса карликовой планеты Эрида составляет примерно 6.03 × 10^22 кг. Ответ можно округлить до десятитысячных, что будет выглядеть следующим образом:

\(m_{Эрида} \approx 6.03 \cdot 10^{22}\) кг