Рассчитайте длину отрезков ВК и КС, если известно, что отрезок АК является биссектрисой треугольника ABC, а длины

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства биссектрисы треугольника и использовать формулу подобия треугольников.

Свойство биссектрисы гласит, что она делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные смежным сторонам. То есть, в данном случае, можно утверждать, что
\(\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC}\)

Из текста задачи известно, что длины отрезков АВ и АС составляют 8 см и X см соответственно. Используя данную информацию, можем записать пропорцию:
\(\frac{BK}{KC} = \frac{8}{X}\)

Теперь нам понадобится ещё один факт о биссектрисе. Он гласит, что биссектриса является биссектрисой угла между двумя сторонами, и делит его на два угла, пропорциональные длинам смежных отрезков. Из этого факта можно получить, что
\(\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{AB}\)

В данной задаче мы можем записать:
\(\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{AB} = \frac{X}{8}\)

Теперь, чтобы решить задачу, используем свойство того, что сумма отношений, равных единице, равна единице. Из этого получаем:
\(\frac{BK}{KC} + \frac{AK}{KB} = 1\)

Подставляем найденные значения:
\(\frac{8}{X} + \frac{X}{8} = 1\)

Домножаем уравнение на 8X:
\(8 + X^2 = 8X\)

Теперь переносим все члены в одну часть уравнения:
\(X^2 - 8X + 8 = 0\)

Для решения данного квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным трёхчленом, или применить метод дополнения квадрата. В данном случае можно заметить, что коэффициент при \(X^2\) равен 1, поэтому дополнение квадрата получится следующее:
\((X - 4)^2\)

Подставляем полученное дополнение:
\((X - 4)^2 = 8 - 16 + 8\)

Вычисляем выражение в правой части уравнения:
\((X - 4)^2 = 0\)

Теперь применяем квадратный корень:
\(X - 4 = 0\)

Решаем полученное уравнение:
\(X = 4\)

Таким образом, мы нашли, что длина отрезка АС составляет 4 см.

Теперь можно найти длины отрезков ВК и КС, используя полученные значения. Подставляем найденное значение X в пропорции:
\(\frac{BK}{KC} = \frac{8}{4} = 2\)

Теперь можем записать пропорцию:
\(\frac{BK}{KC} = 2\)

Пусть длина отрезка КС равна Y см. Тогда можем записать:
\(\frac{2Y}{Y} = 2\)

Решаем полученное уравнение:
\(2Y = Y\)
\(Y = 0\)

Получилось, что длина отрезка КС равна 0 см, что не является корректным. Следовательно, задача с такими данными не имеет решения.

Итак, резюмируя, мы получаем, что длина отрезка АС составляет 4 см, а длина отрезка КС не имеет определенного значения, так как задача с такими данными не имеет решения.