Найдите косинус угла между плоскостями MA D и CA D в данном кубе ABCDA B C D , где все стороны равны 1, если точка

Для начала, давайте разберемся, что такое плоскости MA"D и CA"D в данном кубе ABCDA"B"C"D".

Плоскости MA"D и CA"D - это две плоскости, проходящие через точку M и перпендикулярные друг к другу. Точка M находится в середине одной из граней куба ABCDA"B"C"D".

Чтобы найти косинус угла между плоскостями MA"D и CA"D, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает нормальные векторы плоскостей и косинус угла между ними.

Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный плоскости. Для плоскости MA"D нормальный вектор можно найти с помощью векторного произведения векторов MA и MD. Для плоскости CA"D нормальный вектор можно найти с помощью векторного произведения векторов CA и CD.

Теперь найдем векторы MA, MD, CA и CD. Поскольку все стороны куба равны 1, можно сказать, что вектор MA имеет координаты \(\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\), вектор MD - \(\left(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)\), вектор CA - \(\left(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\), а вектор CD - \(\left(0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\).

Теперь найдем нормальные векторы для плоскостей MA"D и CA"D. Нормальный вектор для плоскости MA"D найдется из векторного произведения векторов MA и MD:
\[
\text{Нормальный вектор для MA"D} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}
\end{vmatrix}
\]
\[
= \left(0\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j} + 0\mathbf{k}\right) = -\frac{1}{2}\mathbf{j}
\]

Нормальный вектор для плоскости CA"D найдется из векторного произведения векторов CA и CD:
\[
\text{Нормальный вектор для CA"D} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{vmatrix}
\]
\[
= \left(\frac{1}{2}\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - \frac{1}{2}\mathbf{k}\right) = \frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{k}
\]

Теперь, когда у нас есть нормальные векторы для обеих плоскостей, мы можем найти косинус угла между ними, используя следующую формулу:
\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{\|\mathbf{n_1}\| \cdot \|\mathbf{n_2}\|}
\]

Где \(\mathbf{n_1}\) - нормальный вектор для плоскости MA"D, а \(\mathbf{n_2}\) - нормальный вектор для плоскости CA"D.

Подставляем значения в формулу:
\[
\cos(\theta) = \frac{(-\frac{1}{2}\mathbf{j}) \cdot (\frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{k})}{\|-\frac{1}{2}\mathbf{j}\| \cdot \|\frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{k}\|}
\]
\[
= \frac{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 0 + 0}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}
\]
\[
= \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}
\]
\[
= -1
\]

Таким образом, косинус угла между плоскостями MA"D и CA"D в данном кубе ABCDA"B"C"D" равен -1.