Найдите координаты векторов fg и gn, модуль вектора fg, координаты вектора d=-2fg+3gn и косинус угла между векторами

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулы для вычисления координат векторов, их модуля, складывания и умножения на число, а также формулу для вычисления косинуса угла между векторами.

Для начала найдем вектор fg. Для этого вычтем из координат вектора g координаты вектора f:

\(fg = g - f\)

\(fg = (7; -5; -4) - (2; -3; 0)\)

\(fg = (7-2; -5-(-3); -4-0)\)

\(fg = (5; -2; -4)\)

Теперь найдем вектор gn, вычтя из координат вектора n координаты вектора g:

\(gn = n - g\)

\(gn = (-3; 2; 5) - (7; -5; -4)\)

\(gn = (-3-7; 2-(-5); 5-(-4))\)

\(gn = (-10; 7; 9)\)

Теперь найдем модуль вектора fg:

Модуль вектора fg вычисляется по формуле:

\(|fg| = \sqrt{ (x_{fg})^2 + (y_{fg})^2 + (z_{fg})^2}\)

Где \(x_{fg}\), \(y_{fg}\) и \(z_{fg}\) - координаты вектора fg.

\(|fg| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-4)^2}\)

\(|fg| = \sqrt{25 + 4 + 16}\)

\(|fg| = \sqrt{45}\)

Теперь найдем координаты вектора d.

\(d = -2fg + 3gn\)

\(d = -2 \cdot (5; -2; -4) + 3 \cdot (-10; 7; 9)\)

\(d = (-10; 4; 8) + (-30; 21; 27)\)

\(d = (-10-30; 4+21; 8+27)\)

\(d = (-40; 25; 35)\)

Наконец, найдем косинус угла между векторами fg и gn по формуле:

\(\cos \theta = \frac{{fg \cdot gn}}{{|fg| \cdot |gn|}}\)

Где \(\theta\) - угол между векторами fg и gn, \(fg \cdot gn\) - скалярное произведение векторов fg и gn, \(|fg|\) и \(|gn|\) - модули векторов fg и gn.

\(fg \cdot gn = (5; -2; -4) \cdot (-10; 7; 9)\)

\(fg \cdot gn = 5 \cdot -10 + (-2) \cdot 7 + (-4) \cdot 9\)

\(fg \cdot gn = -50 - 14 - 36\)

\(fg \cdot gn = -100\)

\(cos \theta = \frac{{-100}}{{\sqrt{45} \cdot \sqrt{(-10)^2 + 7^2 + 9^2}}}\)

\(cos \theta = \frac{{-100}}{{\sqrt{45} \cdot \sqrt{100 + 49 + 81}}}\)

\(cos \theta = \frac{{-100}}{{\sqrt{45} \cdot \sqrt{230}}}\)

После проведения всех вычислений мы получили значения координат вектора fg, gn, d, модуля вектора fg и косинуса угла между векторами fg и gn.