Найдите координаты точки с, если известно, что A(0; 7), B(5; 0), и расстояние от точки M до точки A плюс расстояние

расстоянию от точки B до точки C равно 10.

Для начала, мы знаем координаты точек A и B. Давайте обозначим координаты точки C как (x, y) и используем формулу расстояния между двумя точками, чтобы составить уравнение.

Формула расстояния между двумя точками:
d = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

В нашем случае, мы можем использовать формулу дважды: для расстояния от точки M до точки A и для расстояния от точки M до точки B.

Расстояние от точки M до точки A:
\(\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 7)^2}\)

Расстояние от точки M до точки B:
\(\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2}\)

Согласно условию задачи, сумма этих двух расстояний должна быть равна расстоянию от точки B до точки C, которое равно 10.

Теперь мы можем записать уравнение:

\(\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 7)^2} + \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2} = 10\)

Для решения этого уравнения, мы должны сначала избавиться от квадратных корней. Возводим обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 7)^2} + \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2})^2 = 10^2\)

Раскроем скобки:

\((x - 0)^2 + (y - 7)^2 + 2\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 7)^2}\sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2} + (x - 5)^2 + (y - 0)^2 = 100\)

Упростим уравнение, объединяя все слагаемые и убрав одинаковые члены:

\((x^2 + y^2 - 14y + 49) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 - 14y + 49)}\sqrt{(x^2 - 10x + 25 + y^2)} + (x^2 - 10x + 25 + y^2) = 100\)

Теперь сгруппируем слагаемые с радикалами:

\((2\sqrt{(x^2 + y^2 - 14y + 49)}\sqrt{(x^2 - 10x + 25 + y^2)}) = 100 - x^2 - y^2 + 14y - 49 - x^2 + 10x - 25\)

Упростим полученное выражение:

\((2\sqrt{(x^2 + y^2 - 14y + 49)}\sqrt{(x^2 - 10x + 25 + y^2)}) = -2x^2 + 14y -10x + 26\)

Теперь, чтобы избавиться от радикалов, возводим все части уравнения в квадрат:

\[((2\sqrt{(x^2 + y^2 - 14y + 49)}\sqrt{(x^2 - 10x + 25 + y^2)})^2 = (-2x^2 + 14y -10x + 26)^2\]

Раскроем скобки:

\[(4(x^2 + y^2 - 14y + 49)(x^2 - 10x + 25 + y^2) = (-2x^2 + 14y -10x + 26)^2\]

Упростим уравнение:

\[4(x^2 + y^2 - 14y + 49)(x^2 - 10x + 25 + y^2) = (4x^2 - 28xy + 20x + 28xy - 196y^2 - 140y + 140x - 980 + 100x^2 - 140x + 676)\]

Далее, объединяем одинаковые члены и упрощаем уравнение:

\[4(x^2 + y^2 - 14y + 49)(x^2 - 10x + 25 + y^2) = 100x^2 - 280y^2 - 140x - 140y + 696\]

Продолжение следует...