Найдите катет b и острые углы a и B в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, гипотенуза c равна

Хорошо, давайте решим задачу двумя разными способами.

Первый способ:

Для начала воспользуемся известной теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Из условия задачи у нас есть значение гипотенузы c: \(c = 9 \sqrt{2}\, \text{см}\) и катета a: \(a = 9\, \text{см}\).

Применяя теорему Пифагора, получаем:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[(9 \sqrt{2})^2 = 9^2 + b^2\]
\[162 = 81 + b^2\]
\[b^2 = 162 - 81\]
\[b^2 = 81\]

Чтобы найти катет b, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[b = \sqrt{81}\]
\[b = 9\, \text{см}\]

Таким образом, мы нашли значение катета b.

Теперь перейдем к поиску острых углов a и B.

В прямоугольном треугольнике сумма всех трех углов равна 180 градусов. Также известно, что угол C равен 90 градусов.

Следовательно, сумма углов a и B составляет:
\[a + B = 180 - C\]
\[a + B = 180 - 90\]
\[a + B = 90\]

Так как треугольник является прямоугольным, угол a должен быть равен 90 градусов.

Таким образом, получаем:
\[a = 90\, \text{градусов}\]
\[B = 90 - a\]
\[B = 90 - 90\]
\[B = 0\, \text{градусов}\]

Итак, мы нашли значение катета b (9 см) и острые углы a (90 градусов) и B (0 градусов) в прямоугольном треугольнике ABC.

Второй способ:

Для второго способа мы воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Из условия задачи у нас есть значение гипотенузы c: \(c = 9 \sqrt{2}\, \text{см}\) и катета a: \(a = 9\, \text{см}\).

Для нахождения катета b воспользуемся тригонометрическим соотношением (тангенса):
\[\tan(B) = \frac{a}{b}\]

Подставим известные значения:
\[\tan(B) = \frac{9}{b}\]

Рассмотрим теперь соотношение тангенса в прямоугольном треугольнике, где угол B является острым:
\[\tan(B) = \frac{b}{a}\]

Подставим известные значения:
\[\frac{9}{b} = \frac{b}{9}\]

Умножим обе части уравнения на 9b, чтобы избавиться от знаменателей:
\[9^2 = b^2\]
\[81 = b^2\]

Взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения, получим:
\[b = \sqrt{81}\]
\[b = 9\, \text{см}\]

Таким образом, мы получили такое же значение катета b (9 см) при использовании тригонометрического соотношения.

Продолжим поиск острых углов a и B с использованием тригонометрических функций.

Мы уже знаем значение катета b: \(b = 9\, \text{см}\).

Воспользуемся соотношением синуса:
\[\sin(a) = \frac{a}{c}\]

Подставим известные значения:
\[\sin(a) = \frac{9}{9 \sqrt{2}}\]
\[\sin(a) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Возьмем обратный синус от обеих сторон уравнения:
\[a = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[a = \frac{\pi}{4}\, \text{радиан}\]

Чтобы перевести значение в градусы, умножим значение на 180 и разделим на π:
\[a = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi}\]
\[a = 45\, \text{градусов}\]

Таким образом, мы нашли значение катета b (9 см) и острые углы a (45 градусов) и B (90 градусов) в прямоугольном треугольнике ABC.

Оба способа приводят к одним и тем же результатам, что подтверждает правильность нашего решения.