Найдите катет b и острые углы a и B в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, гипотенуза c равна

Хорошо, давайте решим задачу двумя разными способами.

Первый способ:

Для начала воспользуемся известной теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Из условия задачи у нас есть значение гипотенузы c: $c=9\sqrt{2}\text{см}$ и катета a: $a=9\text{см}$.

Применяя теорему Пифагора, получаем:
$$c^2=a^2+b^2$$
$$(9\sqrt{2}{)}^2=9^2+b^2$$
$$162=81+b^2$$
$$b^2=162-81$$
$$b^2=81$$

Чтобы найти катет b, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
$$b=\sqrt{81}$$
$$b=9\text{см}$$

Таким образом, мы нашли значение катета b.

Теперь перейдем к поиску острых углов a и B.

В прямоугольном треугольнике сумма всех трех углов равна 180 градусов. Также известно, что угол C равен 90 градусов.

Следовательно, сумма углов a и B составляет:
$$a+B=180-C$$
$$a+B=180-90$$
$$a+B=90$$

Так как треугольник является прямоугольным, угол a должен быть равен 90 градусов.

Таким образом, получаем:
$$a=90\text{градусов}$$
$$B=90-a$$
$$B=90-90$$
$$B=0\text{градусов}$$

Итак, мы нашли значение катета b (9 см) и острые углы a (90 градусов) и B (0 градусов) в прямоугольном треугольнике ABC.

Второй способ:

Для второго способа мы воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Из условия задачи у нас есть значение гипотенузы c: $c=9\sqrt{2}\text{см}$ и катета a: $a=9\text{см}$.

Для нахождения катета b воспользуемся тригонометрическим соотношением (тангенса):
$$\tan (B)=\frac{a}{b}$$

Подставим известные значения:
$$\tan (B)=\frac{9}{b}$$

Рассмотрим теперь соотношение тангенса в прямоугольном треугольнике, где угол B является острым:
$$\tan (B)=\frac{b}{a}$$

Подставим известные значения:
$$\frac{9}{b}=\frac{b}{9}$$

Умножим обе части уравнения на 9b, чтобы избавиться от знаменателей:
$$9^2=b^2$$
$$81=b^2$$

Взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения, получим:
$$b=\sqrt{81}$$
$$b=9\text{см}$$

Таким образом, мы получили такое же значение катета b (9 см) при использовании тригонометрического соотношения.

Продолжим поиск острых углов a и B с использованием тригонометрических функций.

Мы уже знаем значение катета b: $b=9\text{см}$.

Воспользуемся соотношением синуса:
$$\sin (a)=\frac{a}{c}$$

Подставим известные значения:
$$\sin (a)=\frac{9}{9\sqrt{2}}$$
$$\sin (a)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Возьмем обратный синус от обеих сторон уравнения:
$$a=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
$$a=\frac{\pi }{4}\text{радиан}$$

Чтобы перевести значение в градусы, умножим значение на 180 и разделим на π:
$$a=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{180}{\pi }$$
$$a=45\text{градусов}$$

Таким образом, мы нашли значение катета b (9 см) и острые углы a (45 градусов) и B (90 градусов) в прямоугольном треугольнике ABC.

Оба способа приводят к одним и тем же результатам, что подтверждает правильность нашего решения.