Найдите функцию F(x), производную которой равна f(x)=5x^4-4x^3 и F(1)=4

Хорошо, давайте найдем функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) = 5x^4 - 4x^3 \) и \( F(1) = 4 \).

Для решения этой задачи, мы будем использовать процесс интегрирования. Интегрирование - это обратная операция дифференцированию, которая находит функцию по ее производной.

Для начала, найдем первообразную функции \( f(x) \), то есть функцию, производная которой равна \( f(x) \).

Производная функции \( f(x) = 5x^4 - 4x^3 \) будет равна

\[
F"(x) = f(x)
\]

Поэтому мы ищем функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \).

Интегрируя \(f(x)\), мы получаем:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx
\]

\[
F(x) = \int (5x^4 - 4x^3) \, dx
\]

Чтобы найти интеграл этого выражения, мы будем использовать правила интегрирования.

Интеграл \(x^n \, dx\) равен \(\frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь применим это правило для каждого слагаемого:

\[
F(x) = \int (5x^4 - 4x^3) \, dx = \frac{{5x^5}}{5} - \frac{{4x^4}}{4} + C
\]

Упростим выражение:

\[
F(x) = x^5 - x^4 + C
\]

Теперь, чтобы найти конкретное значение постоянной \(C\), у нас есть еще одно условие: \(F(1) = 4\).

Подставим \(1\) вместо \(x\) в функцию \(F(x)\):

\[
F(1) = 1^5 - 1^4 + C = 1 - 1 + C = C
\]

По условию \(F(1) = 4\), получаем:

\[
C = 4
\]

Итак, функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x) = 5x^4 - 4x^3\) и \(F(1) = 4\), равна:

\[
F(x) = x^5 - x^4 + 4
\]

Надеюсь, это решение будет понятно для школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!