Найдите функцию f(x), для которой F(x) = tg(4x) является первообразной на интервале (-п/9

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Итак, нам дано, что функция \(F(x) = \tan(4x)\) является первообразной функцией на интервале \((- \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{9})\), что означает, что для любого \(x\) на этом интервале производная \(F"(x)\) равна функции \(f(x)\).

Так как производная \(\tan(x)\) равна \(\sec^2(x)\), мы видим, что производная \(\tan(4x)\) будет равна \(\sec^2(4x)\).

Теперь нам нужно найти функцию \(f(x)\), для которой \(f(x) = \sec^2(4x)\).

Известно, что \(\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\). Подставим это в наше уравнение:

\[f(x) = \sec^2(4x) = 1 + \tan^2(4x)\]

Теперь мы знаем, что \(\tan^2(x) = \frac{{\sin^2(x)}}{{\cos^2(x)}}\), поэтому:

\[f(x) = 1 + \frac{{\sin^2(4x)}}{{\cos^2(4x)}}\]

Но у нас есть еще одна формула: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Подставим это в наше уравнение:

\[f(x) = 1 + \frac{{\sin^2(4x)}}{{1 - \sin^2(4x)}}\]

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), чтобы упростить наше уравнение:

\[f(x) = 1 + \frac{{\frac{{1}}{2}\sin^2(8x)}}{{1 - \frac{{1}}{2}\sin^2(8x)}}\]

Так что окончательная функция \(f(x)\) будет:

\[f(x) = 1 + \frac{{\sin^2(8x)}}{{2 - \sin^2(8x)}}\]

Проверим, является ли эта функция первообразной функции \(F(x) = \tan(4x)\):

Посчитаем производную от \(f(x)\):

\[\frac{{d}}{{dx}}\left(1 + \frac{{\sin^2(8x)}}{{2 - \sin^2(8x)}}\right)\]

Используем правило дифференцирования частного функций:

\[= \frac{{(2 - \sin^2(8x)) \cdot 2\sin(8x) \cdot 8}}{{(2 - \sin^2(8x))^2}}\]

\[= \frac{{16\sin(8x)(2 - \sin^2(8x))}}{{(2 - \sin^2(8x))^2}}\]

Мы видим, что получили производную функции \(F(x) = \tan(4x)\), поэтому наша функция \(f(x)\) действительно является первообразной функцией \(F(x)\) на интервале \((- \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{9})\).

Таким образом, функция \(f(x) = 1 + \frac{{\sin^2(8x)}}{{2 - \sin^2(8x)}}\) является искомой первообразной функцией \(F(x) = \tan(4x)\) на данном интервале.