Найдите два натуральных числа, таких что их наименьшее общее кратное больше наибольшего общего делителя в 6 раз

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть наши два числа будут \(a\) и \(b\), а их наименьшее общее кратное (НОК) обозначим как \(\text{НОК}(a,b)\), а наибольший общий делитель (НОД) - как \(\text{НОД}(a,b)\). По условию задачи, у нас есть следующее равенство:

\(\text{НОК}(a,b) = \text{НОД}(a,b) \times 6\)

Также известно, что разница между числами равна \(b - a = 200\).

Давайте найдем НОД чисел \(a\) и \(b\). Если мы разложим числа \(a\) и \(b\) на их простые множители, то НОД будет содержать только общие простые множители. Кроме того, мы знаем, что НОД делит оба числа без остатка. Поэтому, чтобы разница между числами была 200, возможно только в том случае, если все простые множители разности 200 входят в НОД.

Разложим 200 на простые множители: \(200 = 2^3 \times 5^2\).

Теперь рассмотрим все возможные варианты распределения простых множителей между числами \(a\) и \(b\) так, чтобы НОК равнялся \(\text{НОД} \times 6\).

Вариант 1: \(a = 2^3 \times 5^2\), \(b = 2^3\).
Тогда \(\text{НОК}(a,b) = 2^3 \times 5^2\), \(\text{НОД}(a,b) = 2^3\).
Условие \(\text{НОК}(a,b) = \text{НОД}(a,b) \times 6\) выполняется, так как \(2^3 \times 5^2 = 2^3 \times 6\).

Вариант 2: \(a = 2^3\), \(b = 2^3 \times 5^2\).
Тогда \(\text{НОК}(a,b) = 2^3 \times 5^2\), \(\text{НОД}(a,b) = 2^3\).
Условие \(\text{НОК}(a,b) = \text{НОД}(a,b) \times 6\) также выполняется.

Таким образом, у нас есть два натуральных числа, удовлетворяющих условию задачи: \(a = 2^3 \times 5^2\) и \(b = 2^3\), а их разница равна 200.