Найдите длину КЕ и стороны трапеции ABCD, если биссектриса острого угла CDA трапеции ABCD пересекает сторону АВ в точке

Дек 16, 2023

Найдите длину КЕ и стороны трапеции ABCD, если биссектриса острого угла CDA трапеции ABCD пересекает сторону АВ в точке К, а из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне CD так, что СЕ = 9 см и DE = 16 см. Учитывая, что А = 90 градусов и К – середина.

Сладкая_Бабушка

Дано: Трапеция ABCD, где А = 90 градусов, СЕ = 9 см и DE = 16 см.

Мы знаем, что биссектриса острого угла CDA трапеции ABCD пересекает сторону АВ в точке К, а из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне CD.

Чтобы найти длину КЕ, нам необходимо использовать свойства биссектрисы и прямоугольника.

1. Первым шагом, построим биссектрису угла CDA.

Для этого продолжим сторону AB за точку B, и из точек A и B проведем лучи, которые пересекаются в точке P, как показано на рисунке:

К а р т и н к а] Э т о т л у ч б у д е т я в л я т ь с я б и с с е к т р и с о й у г л а C D A, т а к к а к о н д е л и т е г о н а д в а р а в н ы х у г л а . О б о з н а ч и м т о ч к у п е р е с е ч е н и я б и с с е к т р и с ы с с т о р о н о й A B к а к К . 2. П о с в о й с т в у б и с с е к т р и с ы у г л а C D A, м о ж н о с к а з а т ь, ч т о с о о т н о ш е н и е д л и н о т р е з к о в А К / К B р а в н о о т н о ш е н и ю д л и н с т о р о н т р а п е ц и и C D / D A . З а п и ш е м э т о с о о т н о ш е н и е : \(\frac{A K}{K B} = \frac{C D}{D A} \) М ы з н а е м, ч т о А = 90 г р а д у с о в и К - с е р е д и н а A B (т а к к а к К - т о ч к а п е р е с е ч е н и я б и с с е к т р и с ы с А В) . П о с к о л ь к у т о ч к а К я в л я е т с я с е р е д и н о й с т о р о н ы А В, т о \(∠ A K D = 90 \) г р а д у с о в . 3. Р а с с м о т р и м п р я м о у г о л ь н и к А К Д Е, г д е А К = K B (т а к к а к К - с е р е д и н а А В) и D E - и з в е с т н а я д л и н а . Т а к ж е п о у с л о в и ю з а д а ч и С Е = 9 с м . М ы м о ж е м з а п и с а т ь с л е д у ю щ е е с о о т н о ш е н и е м е ж д у д л и н а м и с т о р о н п р я м о у г о л ь н и к а : \(A K = K B = X K + X K = 2 X K \), г д е X K - д л и н а с т о р о н ы п р я м о у г о л ь н и к а . \(\Rightarrow 2 X K + 16 = X K + 9 \), т а к к а к С Е = 9 с м и D E = 16 с м . \(\Rightarrow X K = 7 \) с м . Т е п е р ь у н а с е с т ь з н а ч е н и е X K, д л и н ы о д н о й и з с т о р о н п р я м о у г о л ь н и к а . 4. Ч т о б ы н а й т и д л и н у К Е, м ы м о ж е м п р и м е н и т ь т е о р е м у П и ф а г о р а к п р я м о у г о л ь н и к у А К Е . П о т е о р е м е П и ф а г о р а, с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а д р а т у г и п о т е н у з ы . П о д с т а в и м и з в е с т н ы е з н а ч е н и я : \((2 X K)^{2} + D E^{2} = K E^{2} \) \(\Rightarrow (2 \cdot 7)^{2} + 16^{2} = K E^{2} \) \(\Rightarrow 196 + 256 = K E^{2} \) \(\Rightarrow 452 = K E^{2} \) \(\Rightarrow K E = \sqrt{452} \) В ы ч и с л и в з н а ч е н и е K E, м ы н а й д е м д л и н у о т р е з к а К Е . 5. Д л я н а х о ж д е н и я с т о р о н т р а п е ц и и A B C D, м ы м о ж е м и с п о л ь з о в а т ь с о о т н о ш е н и я б и с с е к т р и с ы и н а й д е н н у ю д л и н у К Е . С н о в а р а с с м о т р и м п р я м о у г о л ь н и к А К Е . Д л я т р а п е ц и и A B C D м ы з н а е м, ч т о C D = 16 с м и D A = \(\sqrt{452} \) с м (т а к к а к D A = K E) . И з с о о т н о ш е н и я б и с с е к т р и с ы у г л а C D A, м ы м о ж е м з а п и с а т ь : \(\frac{A K}{K B} = \frac{C D}{D A} \) \(\Rightarrow \frac{2 X K}{X B} = \frac{C D}{D A} \) П о д с т а в и м и з в е с т н ы е з н а ч е н и я : \(\frac{2 \cdot 7}{X B} = \frac{16}{\sqrt{452}} \) И с п о л ь з у я п е р е к р е с т н о е у м н о ж е н и е, м ы м о ж е м в ы р а з и т ь X B : \(X B = \frac{16 \cdot 7}{2 \cdot \sqrt{452}} \) У п р о с т и м э т о в ы р а ж е н и е : \[X B = \frac{112}{2 \cdot \sqrt{452}}

Теперь у нас есть значение XB, и мы можем выразить стороны трапеции:

A B = A K + K B = 2 X K + X B

C D = A B - 2 X B

B C = C D - D A

A D = D A

Подставим известные значения и вычислим стороны трапеции:

A B = 2 \cdot 7 + \frac{112}{2 \cdot \sqrt{452}}

C D = A B - 2 \cdot \frac{112}{2 \cdot \sqrt{452}}

B C = C D - \sqrt{452}

A D = \sqrt{452}

Мы нашли длину отрезка КЕ и стороны трапеции ABCD, используя биссектрису и известные длины. Надеюсь, ответ понятен школьнику! Если есть еще вопросы, пожалуйста, задайте их!

Знаешь ответ?

Геометрия

Какой периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ВMN равен...

Ноя 26, 2023

Геометрия

Каков угол между прямой AM и плоскостью ABC?

Ноя 26, 2023

Найдите длину КЕ и стороны трапеции ABCD, если биссектриса острого угла CDA трапеции ABCD пересекает сторону АВ в точке

Сладкая_Бабушка

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!