Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если он имеет общее основание и высоту с конусом, где высота конуса равна

Для решения данной задачи рассмотрим сначала параметры конуса. Дано, что высота конуса равна радиусу основания и что площадь боковой поверхности конуса составляет 14√2.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
\[S_{\text{к}} = \pi r_{\text{к}} l_{\text{к}},\]
где \(S_{\text{к}}\) - площадь боковой поверхности конуса,
\(r_{\text{к}}\) - радиус основания конуса,
\(l_{\text{к}}\) - образующая конуса.

Дано, что \(S_{\text{к}} = 14\sqrt{2}\). Поэтому:
\[14\sqrt{2} = \pi r_{\text{к}} l_{\text{к}}.\]

Также из условия задачи следует, что высота конуса равна радиусу основания. Поэтому: \(h_{\text{к}} = r_{\text{к}}\).

По теореме Пифагора образующая конуса вычисляется по формуле:
\[l_{\text{к}} = \sqrt{r_{\text{к}}^2 + h_{\text{к}}^2}.\]

Так как \(h_{\text{к}} = r_{\text{к}}\), то:
\[l_{\text{к}} = \sqrt{r_{\text{к}}^2 + r_{\text{к}}^2} = \sqrt{2r_{\text{к}}^2} = \sqrt{2}r_{\text{к}}.\]

Теперь мы можем выразить радиус и образующую конуса через значение площади боковой поверхности:
\[14\sqrt{2} = \pi r_{\text{к}} \cdot \sqrt{2}r_{\text{к}} = \sqrt{2}\pi r_{\text{к}}^2.\]

Выразим радиус конуса \(r_{\text{к}}\):
\[r_{\text{к}} = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}\pi} = \frac{14}{\pi}.\]

Так как высота цилиндра равна высоте конуса, то \(h_{\text{цил}} = r_{\text{к}} = \frac{14}{\pi}\).

Также из условия задачи следует, что цилиндр имеет общее основание и высоту с конусом.
Это значит, что площадь общего основания цилиндра равна площади конуса.

Площадь боковой поверхности цилиндра также вычисляется по формуле:
\[S_{\text{цил}} = 2\pi r_{\text{ц}} h_{\text{ц}},\]
где \(S_{\text{цил}}\) - площадь боковой поверхности цилиндра,
\(r_{\text{ц}}\) - радиус основания цилиндра,
\(h_{\text{ц}}\) - высота цилиндра.

Так как площадь общего основания цилиндра равна площади боковой поверхности конуса, получаем:
\[S_{\text{цил}} = S_{\text{к}} = 14\sqrt{2}.\]

Теперь подставим значения радиуса и высоты цилиндра в формулу площади боковой поверхности цилиндра:
\[14\sqrt{2} = 2\pi \cdot \frac{14}{\pi} \cdot \frac{14}{\pi} h_{\text{ц}}.\]

Выразим высоту цилиндра \(h_{\text{ц}}\):
\[h_{\text{ц}} = \frac{14\sqrt{2}}{2\pi \cdot \left(\frac{14}{\pi}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 14√2, а высота цилиндра равна \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).