Найдите длину более короткой стороны и площадь прямоугольника, если известно, что длина более длинной стороны равна

Чтобы найти длину более короткой стороны и площадь прямоугольника, нам потребуется использовать теорему Пифагора и некоторые геометрические соотношения.

Первым шагом найдем длину диагонали через известные данные:

Длина более длинной стороны прямоугольника равна 16,5 см. Обозначим ее как $a$.

Угол между короткой стороной и диагональю составляет 60 градусов. Обозначим длину короткой стороны как $b$ и длину диагонали как $c$.

Из тригонометрии мы знаем, что в прямоугольном треугольнике со сторонами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ с углом между стороной $a$ и гипотенузой ${60}^{\circ }$, соответствующие стороны и углы связаны следующим образом:

$\sin ({60}^{\circ })=\frac{b}{c}$

Так как $\sin ({60}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, мы можем записать:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{c}$ (1)

Также, с помощью теоремы Пифагора, мы знаем, что:

$a^2+b^2=c^2$

Подставив известные значения, получаем:

$16,5^2+b^2={113}^2$ (2)

Теперь мы имеем систему уравнений (1) и (2), которую мы можем решить, чтобы найти длину короткой стороны и длину диагонали.

Решая уравнение (1) относительно $b$, получаем:

$b=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot c$

Подставляя это выражение в уравнение (2), получаем:

$16,5^2+{(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot c)}^2={113}^2$

Упрощая это уравнение, получаем:

$272,25+\frac{3}{4}{c}^2=12769$

Вычитая 272,25 из обеих сторон, получаем:

$\frac{3}{4}{c}^2=12596,75$

Домножая обе стороны на $\frac{4}{3}$, получаем:

$c^2=16795$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$c=\sqrt{16795}\approx 129,63$ (округлено до сотых)

Теперь, чтобы найти длину короткой стороны $b$, мы можем подставить значение $c$ в выражение, которое мы получили ранее:

$b=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 129,63\approx 112,09$ (округлено до сотых)

Таким образом, мы нашли длину короткой стороны: $b\approx 112,09$ см.

Для вычисления площади прямоугольника, мы можем использовать формулу:

Площадь = длина $\times$ ширина

В данном случае, длина более длинной стороны $a$ равна 16,5 см, а длина более короткой стороны $b$ равна около 112,09 см.

Подставив эти значения в формулу, получаем:

Площадь = 16,5 см $\times$ 112,09 см \approx 1846,18 (округлено до сотых)

Таким образом, площадь прямоугольника составляет около 1846,18 квадратных сантиметра.