Найдите длину более короткой стороны и площадь прямоугольника, если известно, что длина более длинной стороны равна

Чтобы найти длину более короткой стороны и площадь прямоугольника, нам потребуется использовать теорему Пифагора и некоторые геометрические соотношения.

Первым шагом найдем длину диагонали через известные данные:

Длина более длинной стороны прямоугольника равна 16,5 см. Обозначим ее как \(a\).

Угол между короткой стороной и диагональю составляет 60 градусов. Обозначим длину короткой стороны как \(b\) и длину диагонали как \(c\).

Из тригонометрии мы знаем, что в прямоугольном треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\) с углом между стороной \(a\) и гипотенузой \(60^\circ\), соответствующие стороны и углы связаны следующим образом:

\(\sin(60^\circ) = \frac{b}{c}\)

Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{c}\) (1)

Также, с помощью теоремы Пифагора, мы знаем, что:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Подставив известные значения, получаем:

\(16,5^2 + b^2 = 113^2\) (2)

Теперь мы имеем систему уравнений (1) и (2), которую мы можем решить, чтобы найти длину короткой стороны и длину диагонали.

Решая уравнение (1) относительно \(b\), получаем:

\(b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c\)

Подставляя это выражение в уравнение (2), получаем:

\(16,5^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c\right)^2 = 113^2\)

Упрощая это уравнение, получаем:

\(272,25 + \frac{3}{4}c^2 = 12769\)

Вычитая 272,25 из обеих сторон, получаем:

\(\frac{3}{4}c^2 = 12596,75\)

Домножая обе стороны на \(\frac{4}{3}\), получаем:

\(c^2 = 16795\)

Извлекая квадратный корень, получаем:

\(c = \sqrt{16795} \approx 129,63\) (округлено до сотых)

Теперь, чтобы найти длину короткой стороны \(b\), мы можем подставить значение \(c\) в выражение, которое мы получили ранее:

\(b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 129,63 \approx 112,09\) (округлено до сотых)

Таким образом, мы нашли длину короткой стороны: \(b \approx 112,09\) см.

Для вычисления площади прямоугольника, мы можем использовать формулу:

Площадь = длина \(\times\) ширина

В данном случае, длина более длинной стороны \(a\) равна 16,5 см, а длина более короткой стороны \(b\) равна около 112,09 см.

Подставив эти значения в формулу, получаем:

Площадь = 16,5 см \(\times\) 112,09 см \approx 1846,18 (округлено до сотых)

Таким образом, площадь прямоугольника составляет около 1846,18 квадратных сантиметра.