Найдите амплитуду заряда на конденсаторе и индуктивность катушки в идеальном колебательном контуре, если заряд

Для решения задачи о найдении амплитуды заряда на конденсаторе $Q$ и индуктивности катушки $L$ в идеальном колебательном контуре, где заряд на конденсаторе $q(t)=10-5\cos (104\pi t)$, мы можем использовать основные уравнения для колебательного контура.

Энергия $W$ в колебательном контуре равна сумме энергии на конденсаторе $W_c$ и энергии на катушке $W_l$.

$$W=W_c+W_l$$

Зная, что энергия на конденсаторе определяется формулой $W_c=\frac{1}{2}C{Q}^2$, где $C$ - ёмкость конденсатора, можем написать выражение для энергии на конденсаторе:

$$W_c=\frac{1}{2}C{Q}^2$$

Также мы знаем, что энергия на катушке определяется формулой $W_l=\frac{1}{2}L{I}^2$, где $L$ - индуктивность катушки, а $I$ - сила тока.

Используя это, мы можем записать выражение для энергии на катушке:

$$W_l=\frac{1}{2}L{I}^2$$

В стационарном состоянии колебательного контура энергия сохраняется, то есть $W=\text{const}$. Поэтому уравнение $W=W_c+W_l$ можно записать в виде:

$$\frac{1}{2}C{Q}^2+\frac{1}{2}L{I}^2=\text{const}$$

Мы также знаем, что в идеальном колебательном контуре ток и заряд связаны соотношением $I=\frac{dQ}{dt}$, где $\frac{dQ}{dt}$ - производная заряда по времени.

Теперь найдем производную заряда по времени:

$$\frac{dq}{dt}=-5(-104\pi )\sin (104\pi t)=520\pi \sin (104\pi t)$$

Используя эту информацию, можно записать уравнение для тока в колебательном контуре:

$$I(t)=\frac{dq}{dt}=520\pi \sin (104\pi t)$$

Теперь перейдем к нахождению амплитуды заряда $Q$ и индуктивности катушки $L$.

В стационарном состоянии колебательного контура, когда $t\to \mathrm{\infty }$, $q(t)$ и $\frac{dq}{dt}$ должны быть периодическими функциями времени, амплитуда которых постоянна. Поэтому мы можем записать:

$$q(t)=Q\cos (\omega t+\varphi )$$
$$\frac{dq}{dt}=-\omega Q\sin (\omega t+\varphi )$$

где $\omega$ - угловая частота колебаний, а $\varphi$ - начальная фаза.

Сравнивая полученные уравнения с нашими данными $q(t)=10-5\cos (104\pi t)$ и $\frac{dq}{dt}=520\pi \sin (104\pi t)$, видим, что $\omega =104\pi$ и $\varphi =0$.

Теперь можем найти амплитуду заряда $Q$:

$$Q=10\text{нА}-(-5\text{нА})\cos (0+\pi )=10\text{нА}+5\text{нА}=15\text{нА}$$

Далее, используя выражение $I=\omega Q$, получим:

$$I=(104\pi )(15\text{нА})=1560\pi \text{нА}$$

И, наконец, подставим полученное значение для I и найденную амплитуду Q в уравнение для энергии контура $W=\frac{1}{2}C{Q}^2+\frac{1}{2}L{I}^2$:

$$\frac{1}{2}(5\text{нФ})(15\text{нА}{)}^2+\frac{1}{2}L(1560\pi \text{нА}{)}^2=\text{const}$$

Теперь, пользуясь полученными значениями, можно посчитать индуктивность катушки $L$.