Найдите амплитуду заряда на конденсаторе и индуктивность катушки в идеальном колебательном контуре, если заряд

Для решения задачи о найдении амплитуды заряда на конденсаторе \(Q\) и индуктивности катушки \(L\) в идеальном колебательном контуре, где заряд на конденсаторе \(q(t) = 10 - 5\cos(104\pi t)\), мы можем использовать основные уравнения для колебательного контура.

Энергия \(W\) в колебательном контуре равна сумме энергии на конденсаторе \(W_c\) и энергии на катушке \(W_l\).

\[W = W_c + W_l\]

Зная, что энергия на конденсаторе определяется формулой \(W_c = \frac{1}{2}CQ^2\), где \(C\) - ёмкость конденсатора, можем написать выражение для энергии на конденсаторе:

\[W_c = \frac{1}{2}CQ^2\]

Также мы знаем, что энергия на катушке определяется формулой \(W_l = \frac{1}{2}LI^2\), где \(L\) - индуктивность катушки, а \(I\) - сила тока.

Используя это, мы можем записать выражение для энергии на катушке:

\[W_l = \frac{1}{2}LI^2\]

В стационарном состоянии колебательного контура энергия сохраняется, то есть \(W = \text{const}\). Поэтому уравнение \(W = W_c + W_l\) можно записать в виде:

\[\frac{1}{2}CQ^2 + \frac{1}{2}LI^2 = \text{const}\]

Мы также знаем, что в идеальном колебательном контуре ток и заряд связаны соотношением \(I = \frac{dQ}{dt}\), где \(\frac{dQ}{dt}\) - производная заряда по времени.

Теперь найдем производную заряда по времени:

\[\frac{dq}{dt} = -5(-104\pi)\sin(104\pi t) = 520\pi\sin(104\pi t)\]

Используя эту информацию, можно записать уравнение для тока в колебательном контуре:

\[I(t) = \frac{dq}{dt} = 520\pi\sin(104\pi t)\]

Теперь перейдем к нахождению амплитуды заряда \(Q\) и индуктивности катушки \(L\).

В стационарном состоянии колебательного контура, когда \(t \to \infty\), \(q(t)\) и \(\frac{dq}{dt}\) должны быть периодическими функциями времени, амплитуда которых постоянна. Поэтому мы можем записать:

\[q(t) = Q\cos(\omega t + \phi)\]
\[\frac{dq}{dt} = -\omega Q \sin(\omega t + \phi)\]

где \(\omega\) - угловая частота колебаний, а \(\phi\) - начальная фаза.

Сравнивая полученные уравнения с нашими данными \(q(t) = 10 - 5\cos(104\pi t)\) и \(\frac{dq}{dt} = 520\pi\sin(104\pi t)\), видим, что \(\omega = 104\pi\) и \(\phi = 0\).

Теперь можем найти амплитуду заряда \(Q\):

\[Q = 10\, \text{нА} - (-5\, \text{нА})\cos(0 + \pi) = 10\, \text{нА} + 5\, \text{нА} = 15\, \text{нА}\]

Далее, используя выражение \(I = \omega Q\), получим:

\[I = (104\pi)(15\, \text{нА}) = 1560\pi\, \text{нА}\]

И, наконец, подставим полученное значение для I и найденную амплитуду Q в уравнение для энергии контура \(W = \frac{1}{2}CQ^2 + \frac{1}{2}LI^2\):

\[\frac{1}{2}(5\, \text{нФ})(15\, \text{нА})^2 + \frac{1}{2}L(1560\pi\, \text{нА})^2 = \text{const}\]

Теперь, пользуясь полученными значениями, можно посчитать индуктивность катушки \(L\).