Находится ли наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-3x^2-9x+35 в пределах отрезка [-4

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) в пределах отрезка \([-4, 5]\), нам необходимо проанализировать поведение функции на данном интервале.

1. Начнем с вычисления значений функции на границах интервала:
Подставим \(x = -4\) в функцию \(f(x)\):
\[f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 35 = -1.\]
Подставим \(x = 5\) в функцию \(f(x)\):
\[f(5) = (5)^3 - 3(5)^2 - 9(5) + 35 = -5.\]
Таким образом, наше начальное предположение состоит в том, что наибольшее значение функции может быть между \(-4\) и \(5\), а наименьшее значение - между этими значениями.

2. Далее, найдем критические точки функции \(f(x)\), то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки, продифференцируем функцию \(f(x)\) по \(x\):
\[f"(x) = 3x^2 - 6x - 9.\]
Для того чтобы найти критические точки, приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим полученное уравнение:
\[3x^2 - 6x - 9 = 0.\]
После факторизации, мы получим:
\[3(x+1)(x-3) = 0.\]
Из этого уравнения следует, что \(x = -1\) или \(x = 3\) являются критическими точками функции \(f(x)\).

3. Проведем исследование знаков для функции \(f(x)\) на разных интервалах:
a) При \(x < -1\):
Выберем значение \(x = -2\) и подставим его в \(f"(x)\):
\[f"(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 11.\]
Таким образом, функция \(f(x)\) положительна при \(x < -1\).

b) При \(-1 < x < 3\):
Выберем значение \(x = 1\) и подставим его в \(f"(x)\):
\[f"(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9 = -6.\]
Таким образом, функция \(f(x)\) отрицательна при \(-1 < x < 3\).

c) При \(x > 3\):
Выберем значение \(x = 4\) и подставим его в \(f"(x)\):
\[f"(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 27.\]
Таким образом, функция \(f(x)\) положительна при \(x > 3\).

4. Итак, мы имеем следующую информацию о функции \(f(x)\):
a) \(f(-4) = -1\) и \(f(5) = -5\) - значения на границах интервала.
b) \(x = -1\) и \(x = 3\) - критические точки функции.
c) Поведение функции \(f(x)\) на различных интервалах: положительна при \(x < -1\), отрицательна при \(-1 < x < 3\) и положительна при \(x > 3\).

5. На основании полученных данных, можно сделать выводы:
a) Максимальное значение функции находится либо на границах интервала, либо в одной из критических точек. Изначально мы знаем, что максимальное значение не превышает 35, т.к. \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\).
b) Минимальное значение функции может находиться где-то между границами интервала или в одной из критических точек, так как мы знаем, что \(f(x)\) может быть отрицательным, но не может превышать значение -1.

6. Для окончательного ответа нам нужно проанализировать значения функции \(f(x)\) в критических точках и на границах интервала:
Подставим \(x = -1\) и \(x = 3\) в функцию \(f(x)\):
\(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 35 = 31.\)
\(f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 35 = 5.\)

7. Итак, наибольшее значение функции \(f(x)\) на пределах отрезка \([-4, 5]\) равно 31 и достигается при \(x = -1\), а наименьшее значение равно -5 и достигается при \(x = 5\).

В заключение, наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) на пределах отрезка \([-4, 5]\) равно соответственно 31 и -5.