На яку швидкість автомобіль набував би на поверхні місяця, якщо після розгону на землі він досягнув швидкості

Для розв"язання цієї задачі спочатку з"ясуємо, які фізичні закони застосовуються.

На землі прискорення вільного падіння складає \(g\), а на поверхні місяця воно є \(g_m\) (прискорення на місяці). Коефіцієнт тертя між шинами автомобіля і поверхнею являє собою \(f\). Для розгону автомобіля на землі скористаємося другим законом Ньютона:

\[F = m \cdot a\]

де \(F\) - сила, \(m\) - маса автомобіля, \(a\) - прискорення. В нашому випадку \(a\) рівне \(g\).

Також ми знаємо, що на поверхні місяця і на землі автомобіль проїхав той самий шлях. Тому використовуючи формулу руху зі сталим прискоренням:

\[v^2 = u^2 + 2 \cdot a \cdot s\]

де \(v\) - кінцева швидкість, \(u\) - початкова швидкість, \(a\) - прискорення, \(s\) - пройдений шлях, можемо порівняти швидкісті на землі (\(v\)) і на поверхні місяця (\(v_m\)). За рівності відповідних виразів отримаємо:

\[v^2 = v_m^2 + 2 \cdot a \cdot s\]

Аби виразити \(v_m\), нам потрібно знати, яке відношення між \(a\) і \(g\) та \(g_m\) і \(g\) нашої задачі.

За умовою завдання сказано, що прискорення вільного падіння на землі у 6 разів більше, ніж на місяці. Тобто \(g = 6g_m\).

Підставимо це вираження в останню формулу:

\[v^2 = v_m^2 + 2 \cdot 6g_m \cdot s\]

Однак, ми ще не маємо вираження для \(s\), тому використаємо формулу для обчислення шляху при рівноприскореному русі:

\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]

Так як ми знаємо, що на місяці шлях такий самий, як і на землі, скористаємося цією властивістю:

\[s = s_m = \frac{1}{2} \cdot g_m \cdot t_m^2\]

Тут \(s_m\) - шлях на поверхні місяця, \(t_m\) - час руху на поверхні місяця.

Далі знайдемо вираз для \(t_m\) залежно від \(t\), часу руху на землі. Оскільки прискорення на місяці менше, ніж на землі, то аналогічний шлях на місяці буде проходитись довше:

\[t_m = k \cdot t\]

де \(k\) - певний коефіцієнт пропорційності, що ми маємо знайти.

Підставимо вирази для \(t_m\) і \(s_m\) у формулу для шляху:

\[s = \frac{1}{2} \cdot g_m \cdot (k \cdot t)^2\]

Оскільки шлях на місяці вдвічі менше, ніж на землі, то \(s_m = \frac{1}{2} \cdot s\).

Підставимо це значення в останню формулу і отримаємо:

\[\frac{1}{2} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot g_m \cdot (k \cdot t)^2\]

Скоротимо \(\frac{1}{2}\) та \(g_m\) по обох боки рівності:

\[s = k^2 \cdot g_m \cdot t^2\]

Далі виразимо \(k\) з цієї рівності:

\[k = \sqrt{\frac{s}{g_m \cdot t^2}}\]

Отримавши коефіцієнт \(k\), ми можемо виразити \(s_m\) і \(t_m\) залежно від \(s\) і \(t\):

\[s_m = \frac{1}{2} \cdot s\]
\[t_m = k \cdot t\]

Знаючи тепер ці вирази, ми можемо підставити їх в попередню формулу:

\[v^2 = v_m^2 + 2 \cdot 6g_m \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot s\right)\]

Підставимо знайдені вирази для \(v_m\), \(s_m\) і \(g\):

\[v^2 = v_m^2 + 2 \cdot 6 \cdot g_m \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot s\right)\]

Скоротимо \(\frac{1}{2}\) і перетворимо вираз:

\[v^2 = v_m^2 + 6 \cdot g_m \cdot s\]

Тепер виразимо \(v_m\) з цієї рівності:

\[v_m^2 = v^2 - 6 \cdot g_m \cdot s\]

Знаючи \(v_m\), ми можемо підставити його в формулу для швидкості на поверхні місяця:

\[v_m = \sqrt{v^2 - 6 \cdot g_m \cdot s}\]

Отже, якщо автомобіль досягне швидкості \(v\) на землі, то швидкість, яку він набуде на поверхні місяця, буде рівна \(\sqrt{v^2 - 6 \cdot g_m \cdot s}\).