На відрізку ab, який перетинає площину с., ми позначили точку с таким чином, що ас становить 5/3 від вс. Далі, через

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами параллельных прямых и делимости отрезков.

В данной задаче у нас имеется отрезок \(AB\) на плоскости \(P\), который пересекает плоскость \(S\). Точка \(C\) находится на отрезке \(AB\) таким образом, что отношение \(\frac{AC}{AB} = \frac{5}{3}\). Затем мы провели параллельные прямые через точки \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно, которые пересекли плоскость \(A\) и обозначили их пересечения как \(A"\), \(B"\) и \(C"\).

Для нахождения отрезка \(AA"\) воспользуемся теоремой Талеса:

\[\frac{AA"}{AC} = \frac{AB"}{AB} \tag{1}\]

Затем воспользуемся определением подобия треугольников:

\[\frac{AC"}{AC} = \frac{CB"}{AB} \tag{2}\]

Отношение \(\frac{AB"}{AB}\) можно найти, используя свойство долей отрезков:

\[\frac{AB"}{AB} = 1 - \frac{BC"}{BC} \tag{3}\]

Также отношение \(\frac{CB"}{AB}\) можно найти, используя долю отрезка:

\[\frac{CB"}{AB} = \frac{CC"}{AC} \tag{4}\]

Решим последовательно уравнения (3) и (4) для нахождения соответствующих отношений.

Учитывая, что \(AC = \frac{5}{3} \cdot AB\) и \(CB = AB - AC = AB - \frac{5}{3} \cdot AB = \frac{8}{3} \cdot AB\), получаем:

\[\frac{AB"}{AB} = 1 - \frac{\frac{8}{3} \cdot AB"}{AB} \implies \frac{9}{3} \cdot AB" = 2 \cdot AB \implies AB" = \frac{2}{9} \cdot AB\]

\[\frac{CB"}{AB} = \frac{CC"}{AC} \implies \frac{\frac{8}{3} \cdot AB"}{AB} = \frac{4}{\frac{5}{3} \cdot AB} \implies \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{9} \cdot AB = \frac{4}{\frac{5}{3}} \implies AB" = \frac{3}{10} \cdot AB\]

Теперь мы можем подставить найденные значения в уравнение (1) для нахождения отношения \(\frac{AA"}{AC}\):

\[\frac{AA"}{AC} = \frac{\frac{2}{9} \cdot AB}{\frac{5}{3} \cdot AB} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{\cancel{10}} \cdot \cancel{10} = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}\]

Итак, отношение \(\frac{AA"}{AC} = \frac{2}{3}\).

Так как изначально задано, что \(VA = 10\) см, \(CC" = 4\) см, а точки \(A"\) и \(C"\) находятся с разных сторон плоскости \(S\), то длина отрезка \(AA"\) будет равна:

\[AA" = \frac{2}{3} \cdot VA = \frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{20}{3}\]

Таким образом, длина отрезка \(AA"\) составляет \(\frac{20}{3}\) см.