На сторонах BC и CD квадрата ABCD есть точки MM и NN соответственно. Лучи AM и AN делят угол BAD на три равные части

Для начала, давайте определимся, что именно нам нужно найти в данной задаче. В задаче не указано конкретно, что нужно найти, поэтому будем искать что-то, что связано с данной конструкцией.

Так как задача связана с треугольником MAN и его высотой ME, давайте посмотрим, что можно найти относительно этого треугольника.

Ведь треугольник MAN имеет высоту ME, а также и другие стороны и углы. Можно рассмотреть все эти величины и понять, что именно из них нам известно.

Зная, что лучи AM и AN делят угол BAD на три равные части, мы можем установить, что каждый из этих углов равен 60 градусам. Воспользуемся этим фактом для дальнейших вычислений.

Также мы видим, что треугольник MAD - прямоугольный, поскольку один из его углов равен 90 градусам.

Вспомним, что точка M лежит на стороне BC, а точка N - на стороне CD. Из этого следует, что углы AMB и ANC тоже прямые, так как они образованы пересечением сторон квадрата ABCD.

Так как дано, что точка M лежит на стороне BC квадрата ABCD, из чего мы можем сделать вывод, что угол AMB равен 90 градусам.

Также известно, что точка N лежит на стороне CD квадрата ABCD, поэтому угол ANC также равен 90 градусам.

Из равенства углов AMB и ANC следует, что угол BMA также равен углу CNA, так как они являются дополнительными углами к прямым углам.

Также, имея наше предположение о том, что углы BMA и CNA равны, мы можем сделать вывод, что треугольник BMA и треугольник CNA подобны друг другу по двум углам.

Теперь давайте обратим внимание на то, что высота ME треугольника MAN делит его на два прямоугольных треугольника: MNE и MNA.

Мы знаем, что угол BMA равен углу CNA, поэтому углы BME и CNE также равны друг другу, так как они являются дополнительными углами к равным углам BMA и CNA.

Из равенства углов BME и CNE следует, что треугольники BME и CNE подобны друг другу по двум углам.

Т.е., у нас получилось две пары подобных треугольников: треугольники BMA и CNA, а также треугольники BME и CNE.

Вспомним теперь основное свойство подобных треугольников, которое гласит, что отношение длин соответствующих сторон в подобных треугольниках равно.

То есть, отношение длины стороны BM к длине стороны CN равно отношению длины стороны BE к длине стороны CE.

Используя это свойство, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{BM}{CN} = \frac{BE}{CE}\]

Давайте обозначим сторону квадрата ABCD как a и найдем значения сторон треугольника BEC.

Так как сторона BE является высотой треугольника MAN и перпендикулярна стороне MC квадрата ABCD, то она равна половине стороны квадрата, то есть BE = \(\frac{a}{2}\).

Аналогично, так как сторона CE является высотой треугольника MAN и перпендикулярна стороне AN квадрата ABCD, то она также равна половине стороны квадрата, то есть CE = \(\frac{a}{2}\).

Теперь, зная значения сторон BE и CE, можем записать полученное соотношение:

\[\frac{BM}{CN} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}\]

Данный результат показывает нам, что отношение сторон BM и CN равно 1.

Из этого следует, что сторона BM равна стороне CN.

Таким образом, мы можем заключить, что отрезки BM и CN равны между собой, т.е. BM = CN.

Ответ на задачу: отрезки BM и CN равны.