На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и K так, что AM:MB = 2:3, BK:KC = 4:5. A straight line was drawn

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство, что прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельной ему, делит эту сторону на две равные части. Давайте рассмотрим каждый шаг решения подробнее.

1. Построение треугольника ABC:
Построим треугольник ABC с помощью отрезков AB и BC, разделив их точкой B и учитывая, что сторона AB делится в отношении 2:3, а сторона BC делится в отношении 4:5. Таким образом, отложим отрезок AM, равный двум частям, и отрезок MB, равный трем частям, от точки A; а также отложим отрезок BK, равный четырем частям, и отрезок KC, равный пяти частям, от точки C.

2. Нахождение точки K":
Проведем прямую через середину отрезка MK (обозначим её точкой M"), и вершину B треугольника ABC. Обозначим точку их пересечения как K". Так как прямая, проходящая через середину стороны параллельной ей, делит эту сторону на две равные части, то отрезок MK" будет равным отрезку K"M".

3. Нахождение точки B":
Проведем прямую через середину отрезка MB (обозначим её точкой M""), и вершину B треугольника ABC. Обозначим точку их пересечения как B". Также отрезок M"B" будет равен отрезку B"M"".

4. Нахождение отношения деления стороны AC:
Поскольку прямая B"K" параллельна стороне AC, то мы можем использовать подобие треугольников для нахождения отношения деления стороны AC этой прямой.

По свойству подобия треугольников, отношение сторон параллельных сторон треугольников равно. То есть, отношение сторон AM и AK должно быть равно отношению сторон BM и B"K".

\[\frac{AM}{AK} = \frac{BM}{B"K"}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{2}{5} = \frac{3}{B"K"}\]

Умножим обе части уравнения на \(5 \cdot B"K"\), чтобы избавиться от дроби:

\[2 \cdot B"K" = 3 \cdot 5\]

\[B"K" = \frac{15}{2}\]

Таким образом, отношение деления стороны AC прямой B"K" будет 15:2.

Итак, мы получили, что прямая, проведенная через середину отрезка MK и вершину B треугольника ABC, делит сторону AC треугольника в отношении 15:2.