На сколько уменьшится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра будут уменьшены в 2,5 раза?

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним, как связана площадь поверхности правильного тетраэдра с длиной его ребра.

Площадь поверхности тетраэдра вычисляется по формуле:
\[ S = \sqrt{3}a^2, \]
где \( S \) - площадь поверхности тетраэдра, а \( a \) - длина ребра.

Поскольку все ребра нашего тетраэдра уменьшаются в 2,5 раза, новая длина ребра будет равна \( a" = \frac{a}{2.5} \).

Теперь можем найти новую площадь поверхности тетраэдра, подставив новую длину ребра в формулу:
\[ S" = \sqrt{3}\left(\frac{a}{2.5}\right)^2. \]

Далее выполним вычисления:

\[ S" = \sqrt{3}\left(\frac{a}{2.5}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}a^2}{(2.5)^2} = \frac{\sqrt{3}a^2}{6.25}. \]

Теперь нам нужно определить, на сколько уменьшилась площадь поверхности тетраэдра. Для этого найдем разность исходной и новой площадей поверхности:
\[ \Delta S = S - S". \]

Подставим выражения для \( S \) и \( S" \):
\[ \Delta S = \sqrt{3}a^2 - \frac{\sqrt{3}a^2}{6.25} = \sqrt{3}a^2\left(1 - \frac{1}{6.25}\right). \]

Упростим выражение:
\[ \Delta S = \sqrt{3}a^2\left(\frac{6.25}{6.25} - \frac{1}{6.25}\right) = \sqrt{3}a^2\left(\frac{6.25 - 1}{6.25}\right). \]

Выполним дальнейшие вычисления:
\[ \Delta S = \sqrt{3}a^2\left(\frac{5.25}{6.25}\right) = \frac{\sqrt{3}a^2\cdot 5.25}{6.25}. \]

Таким образом, площадь поверхности правильного тетраэдра уменьшится на величину \( \frac{\sqrt{3}a^2\cdot 5.25}{6.25} \).

Это позволяет нам выразить изменение площади поверхности в зависимости от исходной длины ребра \( a \). Если известна конкретная длина ребра, можно выполнить численные вычисления, чтобы определить точную величину уменьшения площади поверхности.