На сколько раз увеличивается излучение металла, когда его нагревают до 2000K по сравнению с нагревом до 727°C?

Для решения данной задачи необходимо использовать закон Стефана-Больцмана, который устанавливает связь между излучательной способностью тела и его температурой.

Закон Стефана-Больцмана утверждает, что выходящая мощность излучения \(P\) пропорциональна площади поверхности тела \(S\) и четвёртой степени абсолютной температуры тела \(T\):

\[P = \sigma \cdot S \cdot T^4,\]

где \(\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,Вт/(м^2 \cdot К^4)\) - постоянная Стефана-Больцмана.

Для решения задачи нам нужно сравнить излучательную мощность при температурах 2000K и 727°C.

Для начала, нужно преобразовать температуру 727°C в Кельвины. Для этого мы используем формулу:

\[T(K) = T(°C) + 273.\]

Таким образом,

\[T_1 = 727 + 273 = 1000K.\]

Теперь у нас есть 2000K и 1000K. Мы будем сравнивать их относительное изменение:

\[\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} \cdot 100\%.\]

Заметим, что площадь поверхности тела S пропорционально квадрату его радиуса, а радиус шара пропорционален его объему. Таким образом, площади поверхностей металла при разных температурах могут быть рассмотрены как соотношение объемов:

\[\frac{{S_2}}{{S_1}} = \frac{{V_2^{2/3}}}{{V_1^{2/3}}}.\]

Подстановка в закон Стефана-Больцмана дает нам:

\[\frac{{P_2}}{{P_1}} = \left( \frac{{V_2}}{{V_1}} \right)^{2/3} \cdot \left( \frac{{T_2}}{{T_1}} \right)^4.\]

Так как площадь поверхности металла не меняется (мы рассматриваем один и тот же металл), то \(\frac{{S_2}}{{S_1}} = 1\), а значит \(\left( \frac{{V_2}}{{V_1}} \right)^{2/3} = 1\). Поэтому

\[\frac{{P_2}}{{P_1}} = \left( \frac{{T_2}}{{T_1}} \right)^4.\]

Теперь мы можем подставить значения и вычислить:

\[\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} \cdot 100\% = \left( \frac{{T_2}}{{T_1}} \right)^4 - 1.\]

Подставим значения для \(T_2 = 2000К\) и \(T_1 = 1000К\):

\[\frac{{P_2 - P_1}}{{P_1}} \cdot 100\% = \left( \frac{{2000}}{{1000}} \right)^4 - 1 = 15 - 1 = 14.\]

Ответ: Излучение металла увеличивается в 14 раз при нагревании его до 2000K по сравнению с нагревом до 727°C.