На сколько раз увеличится осевой момент инерции при увеличении диаметра сплошного вала в два раза?

Чтобы найти, на сколько раз увеличится осевой момент инерции при увеличении диаметра сплошного вала в два раза, мы можем использовать формулу для момента инерции известной фигуры. Для цилиндра (что может быть идеальной моделью сплошного вала), момент инерции может быть найден по формуле \(I = \frac{1}{2}M R^2\), где \(M\) - масса цилиндра и \(R\) - радиус цилиндра.

При увеличении диаметра в два раза, радиус также увеличится в два раза. Давайте обозначим момент инерции до увеличения диаметра как \(I_1\) и момент инерции после увеличения диаметра как \(I_2\).
Тогда, мы имеем следующее:

Для \(I_1\), \(R_1 = \frac{d_1}{2}\), где \(d_1\) - диаметр до увеличения,
для \(I_2\), \(R_2 = \frac{d_2}{2}\), где \(d_2\) - диаметр после увеличения.

Учитывая, что диаметр увеличивается в два раза (\(d_2 = 2d_1\)), мы можем сказать, что \(R_2 = \frac{2d_1}{2} = d_1\).

Теперь, используя эти значения радиусов, мы можем записать два момента инерции:

Для \(I_1\): \(I_1 = \frac{1}{2}M (R_1)^2 = \frac{1}{2}M \left(\frac{d_1}{2}\right)^2\),
для \(I_2\): \(I_2 = \frac{1}{2}M (R_2)^2 = \frac{1}{2}M (d_1)^2\).

Давайте теперь найдем отношение \(I_2\) к \(I_1\):

\(\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{1}{2}M (d_1)^2}{\frac{1}{2}M \left(\frac{d_1}{2}\right)^2}\).
Упрощая эту дробь, мы получаем следующее:

\(\frac{I_2}{I_1} = \frac{(d_1)^2}{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2} = \frac{4}{1} = 4\).

Таким образом, осевой момент инерции увеличится в четыре раза при увеличении диаметра сплошного вала в два раза.