На сколько раз увеличились главные центральные моменты инерции при увеличении диаметра сплошного вала в три раза?

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу, связывающую моменты инерции с геометрическими параметрами объекта.

Момент инерции \(I\) является величиной, характеризующей распределение массы относительно оси вращения. Для сплошного вала считается, что он имеет цилиндрическую форму и его момент инерции можно выразить следующей формулой:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

где \(m\) - масса вала, а \(r\) - радиус вала.

Однако, в данной задаче нам дано изменение диаметра вала, а не массы. Для определения изменения момента инерции, мы можем воспользоваться связью радиуса и диаметра вала:

\[d = 2r\]

где \(d\) - диаметр вала.

Мы знаем, что диаметр вала увеличивается в три раза. Таким образом, новый диаметр будет равен \(3d\), а новый радиус \(r"\) можно найти по формуле:

\[r" = \frac{1}{2}(3d) = \frac{3}{2} d\]

Теперь мы можем найти новый момент инерции \(I"\):

\[I" = \frac{1}{2} m (r")^2\]

Так как масса вала остается неизменной, то новый момент инерции можно выразить через старый момент инерции \(I\):

\[I" = \frac{1}{2} m \left(\frac{3}{2} d\right)^2 = \frac{9}{8} (md^2)\]

Таким образом, главные центральные моменты инерции увеличиваются в 9/8 = 1.125 раз при увеличении диаметра сплошного вала в три раза.

Один из ключевых моментов в этом решении - использование формулы момента инерции для сплошного вала. Это объясняет почему мы использовали именно такую формулу, основываясь на данной конкретной геометрии объекта.