На сколько раз светимость Кастора (или Близнецов) превышает светимость Солнца, если его температура составляет 10400К?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать закон Стефана-Больцмана, который гласит, что мощность излучения абсолютно черного тела (в нашем случае звезды) пропорциональна четвёртой степени её температуры:

\[P = \sigma \cdot A \cdot T^4\]

Где:
\(P\) - мощность излучения,
\(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2 \cdot \text{К}^4\)),
\(A\) - площадь поверхности излучения (в нашем случае мы можем считать, что это площадь сферы),
\(T\) - температура.

Для расчёта отношения светимости Кастора (или Близнецов) к светимости Солнца нам нужно сравнить мощности излучения этих двух звёзд.

По формуле Стефана-Больцмана для излучения Кастора (или Близнецов) с температурой 10400K получаем:

\[P_{\text{Кастор}} = \sigma \cdot A_{\text{Кастор}} \cdot T_{\text{Кастор}}^4\]

Аналогично, для излучения Солнца с температурой 6000K получаем:

\[P_{\text{Солнце}} = \sigma \cdot A_{\text{Солнце}} \cdot T_{\text{Солнце}}^4\]

Исходя из логики задачи, можно предположить, что размеры звёзд пренебрежимо малы по сравнению с их расстоянием от нас, поэтому площади излучения можно считать одинаковыми:

\(A_{\text{Кастор}} = A_{\text{Солнце}}\).

Теперь мы можем найти отношение светимости Кастора (или Близнецов) к светимости Солнца:

\(\frac{{P_{\text{Кастор}}}}{{P_{\text{Солнце}}}} = \frac{{\sigma \cdot A_{\text{Кастор}} \cdot T_{\text{Кастор}}^4}}{{\sigma \cdot A_{\text{Солнце}} \cdot T_{\text{Солнце}}^4}}\).

Подставляя значения и делая необходимые вычисления, получаем:

\[\frac{{P_{\text{Кастор}}}}{{P_{\text{Солнце}}}} = \left(\frac{{T_{\text{Кастор}}}}{{T_{\text{Солнце}}}}\right)^4\]