На сколько раз светимость Кастора (и Близнецов) превышает светимость Солнца, если она в 25 раз больше

Для решения этой задачи, нам необходимо знать, что светимость звезды пропорциональна четвертой степени её температуры. Для начала, найдём отношение светимостей Солнца и Кастора (а также Близнецов).

Пусть \(L_{\text{Солнца}}\) обозначает светимость Солнца, \(L_{\text{Кастора}}\) обозначает светимость Кастора (и Близнецов).

Мы знаем, что светимость Кастора в 25 раз больше светимости Солнца, то есть:
\[L_{\text{Кастора}} = 25 \cdot L_{\text{Солнца}}.\]

Также нам дано значение температуры Солнца, которая составляет 10400 К.

Теперь нужно воспользоваться соотношением светимостей, зависящим от температуры. Обычно используется следующая формула:
\[\frac{{L_1}}{{L_2}} = \left(\frac{{T_1}}{{T_2}}\right)^4,\]
где \(L_1\) и \(L_2\) - светимости для звезд 1 и 2 соответственно, а \(T_1\) и \(T_2\) - их температуры.

Применяя данную формулу к Солнцу и Кастору, мы можем выразить отношение их светимостей:
\[\frac{{L_{\text{Кастора}}}}{{L_{\text{Солнца}}}} = \left(\frac{{T_{\text{Кастора}}}}{{T_{\text{Солнца}}}}\right)^4.\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{{25 \cdot L_{\text{Солнца}}}}{{L_{\text{Солнца}}}} = \left(\frac{{10400}}{{T_{\text{Солнца}}}}\right)^4.\]

Упрощая уравнение, мы получаем:
\[25 = \left(\frac{{10400}}{{T_{\text{Солнца}}}}\right)^4.\]

Чтобы найти значение температуры Солнца, нам нужно извлечь 4-й корень из обеих частей уравнения:
\[\sqrt[4]{25} = \frac{{10400}}{{T_{\text{Солнца}}}}.\]

Решая это уравнение, мы найдём значение температуры Солнца:
\[T_{\text{Солнца}} = \frac{{10400}}{{\sqrt[4]{25}}} \approx 5778 \, \text{К}.\]

Таким образом, мы нашли значение температуры Солнца, которая составляет примерно 5778 К.

Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти светимость Кастора (и Близнецов). Подставляем найденную температуру Солнца в изначальное уравнение:
\[L_{\text{Кастора}} = 25 \cdot L_{\text{Солнца}} = 25 \cdot \left(\frac{{10400}}{{\sqrt[4]{25}}}\right).\]

Выполняя необходимые вычисления, мы получаем:
\[L_{\text{Кастора}} \approx 25 \cdot 1620 \approx 40500.\]

Таким образом, светимость Кастора (и Близнецов) превышает светимость Солнца примерно в 40500 раз.