На сколько раз кинетическая энергия тела больше его потенциальной энергии в момент, когда его смещение от положения

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с понятиями кинетической и потенциальной энергии, а затем проведем пошаговое решение.

Кинетическая энергия (\(E_k\)) тела связана с его скоростью (\(v\)) и массой (\(m\)) по формуле:
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]

Потенциальная энергия (\(E_p\)) тела, являющегося гармоническим осциллятором, связана с его смещением (\(x\)) и жесткостью пружины (\(k\)) по формуле:
\[E_p = \frac{1}{2}kx^2\]

Для тела, движущегося гармонически, смещение от положения равновесия (\(x\)) связано с амплитудой (\(A\)) следующим образом:
\[x = A/2\]

Теперь, чтобы найти во сколько раз кинетическая энергия больше потенциальной в данном случае, нам нужно выразить скорость (\(v\)) через смещение (\(x\)) и амплитуду (\(A\)) и подставить это значение в формулу кинетической энергии, а затем сравнить его с потенциальной энергией.

1. Найдем значение скорости (\(v\)) через смещение (\(x\)) и амплитуду (\(A\)). В данном случае, согласно задаче, смещение составляет половину амплитуды:
\[x = A/2\]

2. Подставим это значение в формулу скорости:
\[v = 2\pi f \cdot x\]

3. Теперь можем подставить значение скорости (\(v\)) в формулу кинетической энергии:
\[E_k = \frac{1}{2}m(2\pi f \cdot x)^2\]

4. Подставим значение смещения (\(x\)) через амплитуду (\(A\)):
\[E_k = \frac{1}{2}m(2\pi f \cdot \frac{A}{2})^2\]

5. Упростим выражение:
\[E_k = \frac{1}{2}m(2\pi f \cdot \frac{A}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\pi f A)^2 = \frac{1}{2}m\pi^2 f^2 A^2\]

Таким образом, мы получили выражение для кинетической энергии (\(E_k\)) тела через массу (\(m\)), амплитуду (\(A\)) и частоту (\(f\)).

6. Выразим теперь потенциальную энергию (\(E_p\)) через амплитуду (\(A\)) и жесткость пружины (\(k\)):
\[E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{2k} \cdot \frac{A^2}{2}\]

Теперь у нас есть выражение для потенциальной энергии (\(E_p\)) тела через амплитуду (\(A\)) и жесткость пружины (\(k\)).

Итак, чтобы найти на сколько раз кинетическая энергия больше потенциальной в данном случае, нам нужно поделить значение кинетической энергии (\(E_k\)) на значение потенциальной энергии (\(E_p\)):

\[\frac{E_k}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}m\pi^2 f^2 A^2}{\frac{1}{2k} \cdot \frac{A^2}{2}} = \frac{m\pi^2 f^2 A^2}{k} = \frac{m\pi^2 f^2 A^2}{k}\]

Таким образом, кинетическая энергия тела в данном случае будет больше его потенциальной энергии в \(\frac{m\pi^2 f^2 A^2}{k}\) раз.

Я надеюсь, что это пошаговое решение поможет вам понять, как достичь ответа к данной задаче.