На сколько раз больше радиус орбиты спутника, который находится над определенной точкой Земли, чем радиус самой Земли?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Для начала, давайте обозначим массу Земли как \(M_1\) и радиус Земли как \(r_1\), а массу спутника как \(M_2\) и радиус его орбиты как \(r_2\).

Мы знаем, что радиус орбиты спутника находится над определенной точкой Земли. В этом случае спутник движется вместе с Землей и находится в состоянии невесомости. Поэтому мы можем сказать, что сила притяжения спутника и Земли равна центробежной силе, так как они сбалансированы. Центробежная сила можно выразить как:

\[F_{\text{центр}} = \frac{{M_2 \cdot v^2}}{r_2}\]

Где \(v\) - линейная скорость спутника, связанная с периодом обращения спутника \(T\) следующим образом:

\[v = \frac{{2\pi r_2}}{T}\]

Теперь мы можем записать уравнение для силы притяжения между спутником и Землей:

\[F_{\text{тяга}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot M_2}}{{r_1^2}}\]

Где \(G\) - гравитационная постоянная.

Так как сила притяжения равна центробежной силе, мы можем приравнять уравнения и решить относительно радиуса орбиты спутника \(r_2\):

\[\frac{{M_2 \cdot v^2}}{r_2} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot M_2}}{{r_1^2}}\]

Сократим \(M_2\) с обоих сторон и выразим \(r_2\):

\[r_2 = \frac{{G \cdot M_1 \cdot M_2}}{{v^2}} \cdot \frac{{r_1^2}}{{M_2}}\]

Сократим \(M_2\) и упростим выражение:

\[r_2 = \frac{{G \cdot M_1 \cdot r_1^2}}{{v^2}}\]

Теперь давайте рассмотрим отношение радиуса спутника \(r_2\) к радиусу Земли \(r_1\):

\[\frac{{r_2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot r_1^2}}{{v^2}} \cdot \frac{1}{{r_1}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{r_2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot r_1}}{{v^2}}\]

Теперь мы можем заметить, что линейная скорость спутника \(v\) связана с радиусом Земли \(r_1\) и периодом обращения спутника \(T\) следующим образом:

\[v = \frac{{2\pi r_1}}{T}\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[\frac{{r_2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot r_1}}{{\left(\frac{{2\pi r_1}}{{T}}\right)^2}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{{r_2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot r_1}}{{\frac{{4\pi^2 r_1^2}}{{T^2}}}}\]

Сократим \(r_1\) и упростим выражение:

\[\frac{{r_2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot T^2}}{{4\pi^2}}\]

Теперь мы имеем окончательное выражение для отношения радиуса орбиты спутника \(r_2\) к радиусу Земли \(r_1\):

\[\frac{{r_2}}{{r_1}} = \frac{{G \cdot M_1 \cdot T^2}}{{4\pi^2}}\]

Отсюда можно сделать вывод, что радиус орбиты спутника над определенной точкой Земли будет на \(T^2\) раз больше радиуса самой Земли. Величина \(T\) здесь представляет собой период обращения спутника вокруг Земли.