На сколько процентов уменьшится площадь боковой поверхности конуса при уменьшении радиуса основания в 2,5 раза

Чтобы решить эту задачу, мы должны понять, как связаны площади боковой поверхности конуса с его радиусом основания. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле:

\[S = \pi \cdot r \cdot l,\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, а \(l\) - образующая конуса.

У нас дано, что образующая конуса останется неизменной. Значит, мы должны найти зависимость площади боковой поверхности от радиуса основания и использовать это для решения задачи.

Пусть \(S_1\) - площадь боковой поверхности при исходном радиусе основания, а \(S_2\) - площадь боковой поверхности при радиусе основания, уменьшенном в 2,5 раза.

1. Вычислим \(S_1\) при исходном радиусе основания.
По формуле для площади боковой поверхности конуса:
\[S_1 = \pi \cdot r_1 \cdot l.\]

2. Вычислим \(S_2\) при радиусе основания, уменьшенном в 2,5 раза.
По условию задачи радиус основания уменьшился в 2,5 раза, поэтому новый радиус \(r_2 = \frac{{r_1}}{{2,5}}\).
\[S_2 = \pi \cdot r_2 \cdot l.\]

3. Найдем, насколько процентов уменьшилась площадь боковой поверхности.
Для этого выразим разницу между \(S_1\) и \(S_2\) в процентах от \(S_1\):
\[\text{{Уменьшение в процентах}} = \frac{{S_1 - S_2}}{{S_1}} \cdot 100.\]

Осталось заменить формулы на числа и выполнить необходимые вычисления.

Пусть \(r_1 = 10\) (исходный радиус основания) и \(l = 20\) (значение образующей).

1. Вычислим \(S_1\):
\[S_1 = \pi \cdot 10 \cdot 20.\]
\[S_1 \approx 628,32 \, \text{{ед. площади}}.\]

2. Вычислим \(S_2\):
\[r_2 = \frac{{10}}{{2,5}} = 4.\]
\[S_2 = \pi \cdot 4 \cdot 20.\]
\[S_2 \approx 251,33 \, \text{{ед. площади}}.\]

3. Вычислим уменьшение в процентах:
\[\text{{Уменьшение в процентах}} = \frac{{628,32 - 251,33}}{{628,32}} \cdot 100.\]
\[\text{{Уменьшение в процентах}} \approx 60,04\%.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса уменьшится примерно на 60,04% при уменьшении радиуса основания в 2,5 раза при условии, что образующая останется неизменной.