На сколько нужно увеличить радиус основания конуса, чтобы его объем остался прежним, если высота конуса была уменьшена

Конус имеет объем, которая выражается формулой \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\], где \(V\) - объем, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус основания конуса, и \(h\) - высота конуса.

В данной задаче требуется узнать, на сколько нужно увеличить радиус основания конуса, чтобы его объем остался прежним при уменьшении высоты в 4 раза.

Пусть исходные значения радиуса и высоты конуса будут \(r_0\) и \(h_0\) соответственно. Изначально объем конуса будет равен \[V_0 = \frac{1}{3} \pi r_0^2 h_0\].

Теперь предположим, что радиус основания увеличился до \(r_1\) и высота уменьшилась до \(\frac{1}{4}h_0\). Объем конуса после этих изменений будет такой же, как и исходный объем (\(V_0\)).

Мы можем записать это условие в виде уравнения:

\[\frac{1}{3} \pi r_1^2 \left(\frac{1}{4}h_0\right) = V_0\]

Теперь решим это уравнение относительно \(r_1\):

\[\frac{1}{3} \pi r_1^2 \left(\frac{1}{4}h_0\right) = \frac{1}{3} \pi r_0^2 h_0\]

Домножим обе части уравнения на \(\frac{4}{\pi}\), чтобы убрать коэффициенты:

\[r_1^2 \left(\frac{1}{4}h_0\right) = r_0^2 h_0\]

Сократим общий множитель \(h_0\):

\[\frac{1}{4}r_1^2 = r_0^2\]

Переместим \(\frac{1}{4}\) на другую сторону уравнения, меняя его знак:

\[r_1^2 = 4r_0^2\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[r_1 = 2r_0\]

Таким образом, чтобы объем конуса остался прежним при уменьшении высоты в 4 раза, радиус основания должен быть увеличен в 2 раза.