На сколько изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус будет уменьшен в 6 раз, а высота увеличена

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить изменение площади боковой поверхности цилиндра при изменении его радиуса и высоты. Давайте начнем с расчета площади боковой поверхности цилиндра до изменения размеров.

Площадь боковой поверхности цилиндра определяется формулой \(S = 2\pi r h\), где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - число Пи (приближенное значение 3.14), \(r\) - радиус цилиндра и \(h\) - высота цилиндра.

Для начала, давайте найдем значение площади боковой поверхности цилиндра до изменения размеров. Пусть \(S_1\) будет площадью боковой поверхности до изменения размеров, \(r_1\) - исходный радиус цилиндра и \(h_1\) - исходная высота цилиндра.

Тогда \(S_1 = 2\pi r_1 h_1\).

Теперь давайте найдем значение площади боковой поверхности цилиндра после изменения размеров. Пусть \(S_2\) будет площадью боковой поверхности после изменения размеров, \(r_2\) - новый радиус цилиндра и \(h_2\) - новая высота цилиндра.

Из условия задачи известно, что радиус уменьшился в 6 раз, следовательно \(r_2 = r_1 / 6\).

Высота же увеличилась в 12 раз, поэтому \(h_2 = h_1 \cdot 12\).

Теперь можно выразить площадь боковой поверхности цилиндра после изменения размеров:

\[S_2 = 2\pi r_2 h_2\]

Подставим значения \(r_2\) и \(h_2\) в формулу:

\[S_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{6}\right) \cdot (h_1 \cdot 12)\]

Далее проведем несложные алгебраические преобразования:

\[S_2 = 2\pi \cdot \frac{r_1 \cdot h_1 \cdot 12}{6}\]

\[S_2 = 2\pi \cdot 2r_1 \cdot h_1\]

\[S_2 = 4\pi r_1 h_1\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра после изменения размеров будет равна \(4\pi r_1 h_1\).

Для определения изменения площади боковой поверхности вычтем из площади после изменения размеров площадь до изменения размеров:

\[\Delta S = S_2 - S_1\]

Подставим значения \(S_1\) и \(S_2\) в это выражение:

\[\Delta S = 4\pi r_1 h_1 - 2\pi r_1 h_1\]

\[\Delta S = 2\pi r_1 h_1\]

Таким образом, изменение площади боковой поверхности цилиндра будет равно \(2\pi r_1 h_1\).

Итак, ответ на задачу: площадь боковой поверхности цилиндра изменится на \(2\pi r_1 h_1\).